Macierz odwrotna z Twierdzenia Cayleya Hamiltona

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
help_me;)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 8 wrz 2006, o 20:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 12 razy

Macierz odwrotna z Twierdzenia Cayleya Hamiltona

Post autor: help_me;) »

Mam taka macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\2&2&4\\0&0&1\end{array}\right]}\) i muszę wyznaczyć wartości własne macierzy oraz obliczyc macierz odwrotna korzystając z twierdzenia Cayley'a Hamiltona. Wyznaczyłam wielomian charakterystyczny macierzy, który wyszedł \(\displaystyle{ A^{3} +6 A^{2} -7A+2}\) Zamiast lambdy napisałam A. Z tego równania wyznaczyłam wartości własne i nie wiem jak potem rozwiązać to równanie.. W szkole robiliśmy ze mnożyliśmy przez macierz odwrotna ale nie umiem tego zastosowac do równania trzeciego stopnia. Z gory dziekuje za pomoc.. (;
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Macierz odwrotna z Twierdzenia Cayleya Hamiltona

Post autor: kuch2r »

\(\displaystyle{ \det A\neq 0}\) - zatem istnieje \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
Na mocy twierdzenie H-C, mamy:
\(\displaystyle{ A^3+6A^2-7A+2=0 \quad \backslash \backslash A^{-1}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ A^2+6A-7I+2A^{-1}=0\\2A^{-1}=7I-6A-A^2\\A^{-1}=\frac{7}{2}I-3A-\frac{1}{2}A^{2}}\)
5artos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 5 lis 2006, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 23 razy

Macierz odwrotna z Twierdzenia Cayleya Hamiltona

Post autor: 5artos »

witam mam takie pytanko co do dalszego liczenia w przypadku tego zadania, mam w tym równaniu na macierz odwrotną wyrażenie A^2 i jak to licze standardowo wymnażam A*A czy jest na to jakis sposób ??

[ Dodano: 24 Grudnia 2007, 16:43 ]
załóżmy ze mam takie równanie chrakterystyczne:

\(\displaystyle{ -A^{3}+8A^{2}-19A+12I}\)

i musze z policzyć A^{-1} a potem A^{2} jak działać w tym przypadku może nie z twierdzenia Cayleya-Hamiltona

[ Dodano: 26 Grudnia 2007, 12:07 ]
może ktoś wie jednak jak obliczyc to A^2
itamasek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 28 paź 2012, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: internet

Macierz odwrotna z Twierdzenia Cayleya Hamiltona

Post autor: itamasek »

Możecie mi powiedzieć, jak policzyć wielomian charakterystyczny macierzy? Czy robi się coś jeszcze oprócz wymnożenia czynników z przekątnej po dodaniu λ ?
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Macierz odwrotna z Twierdzenia Cayleya Hamiltona

Post autor: Mariusz M »

Zagadnienie własne \(\displaystyle{ A\vec{v}=\lambda\vec{v}}\)
Założenie \(\displaystyle{ \vec{v}\neq\vec{0}}\)
więc \(\displaystyle{ \det{\left( A-\lambda I\right) }=0}\)
ODPOWIEDZ