Macierz jako suma macierzy

[domin8]

Pokazać, że każdą macierz kwadratową można przedstawić jednoznacznie jako sumę macierzy symetrycznej \(\displaystyle{ ({A}^T = A)}\) i antysymetrycznej \(\displaystyle{ ({A}^T = -A)}\). Napisać to przedstawienie dla macierzy:
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cccc}0&1&4&-2\\-3&5&2&8\\2&4&-3&-4\\6&0&0&1\end{array}\right]}\)

[andkom]

\(\displaystyle{ B=\frac{B+B^T}2+\frac{B-B^T}2}\)
Macierz \(\displaystyle{ \frac{B+B^T}2}\) jest symetryczna, a \(\displaystyle{ \frac{B-B^T}2}\) jest antysymetryczna.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&4&-2\\-3&5&2&8\\2&4&-3&-4\\6&0&0&1\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{cccc}0&-1&3&2\\-1&5&3&4\\3&3&-3&-2\\2&4&-2&1\end{array}\right]
+\left[\begin{array}{cccc}0&2&1&-4\\-2&0&-1&4\\-1&1&0&-2\\4&-4&2&0\end{array}\right]}\)

[Aithley]

Mam do zrobienia dokladnie to samo zadanie, jednak zupelnie nie wiem jak sie do tego zabrac.
Moglby mi to ktos wyjasnic? Albo chociaz naprowadzic jak to rozpisac... Szczegolnie chodzi mi o ta pierwsza czesc 'Pokazać, że każdą macierz kwadratową można przedstawić jednoznacznie jako sumę macierzy symetrycznej \(\displaystyle{ ({A}^T = A)}\) i antysymetrycznej \(\displaystyle{ ({A}^T = -A)}\).'

[Tillo]

\(\displaystyle{ A= \frac{A+A^T}{2}+ \frac{A-A^T}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{A+A^T}{2}\right)^T= \frac{A^T+A}{2}= \frac{A+A^T}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{A-A^T}{2}\right)^T= \frac{A^T-A}{2}=- \frac{A-A^T}{2}}\)