dowody na macierzach

[mcmałgosia]

Wykazać że
\(\displaystyle{ det(ABA^-^1)=detB}\)

Wykazać że wyznacznik macierzy idempotentnej może być równy
\(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\)

Jaka wartość liczbową może przyjąć wyznacznik macierzy inwolutywnej

[kuch2r]

Lemat 1:
\(\displaystyle{ \det (A\cdot B)=\det A det B}\)
Lemat 2:
\(\displaystyle{ \det A^{-1}=(\det A)^{-1}}\)
Ad.1
\(\displaystyle{ \det(A\cdot B A^{-1})=\det A \det (B\cdot A^{-1})=\det A ( \det B \det A^{-1})=\\=\det A \frac{1}{\det A}\cdot \det B=\det B}\)
Ad.2
Macierz \(\displaystyle{ A}\)nazywazmy idempotentna,wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ A^2=A}\)
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ \det A=\det A^{2}=\det (A\cdot A)=\det A \det A\\(\det A)^2- \det A=0\\\det A(\det A -1)=0\iff \det A=0 \ \ \det A=1}\)
Ad.3
Macierz \(\displaystyle{ A}\) nazywamy inwolutywna, wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ A^2=I}\)
Wiemy, ze:
\(\displaystyle{ \det I=1}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \det A^2=\det (A\cdot A)=(\det A)^2=1\iff \det A=\pm 1}\)