Zbadaj czy A jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej

[McGoof]

Treść zadania:
W zbiorze R3 rozpatrujemy podzbiór:
\(\displaystyle{ A=\{(x _{1} ,x _{2} ,x _{3} ): x _{1}=0\};}\)
Zbadać czy (A , R,+,*) jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ (R ^{3} , R,+,*)}\) .
Znaleźć bazę i wymiar.

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ \alpha\in \mathbb{R}, v\in A}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ v=[0,v_2,v_3]}\)
Nastepnie:
\(\displaystyle{ \alpha\cdot v=\alpha[0,v_2,v_3]=[\alpha\cdot 0,\alpha\cdot v_2,\alpha\cdot v_3]=[0,\overline{v_2},\overline{v_3}]\in A}\)

\(\displaystyle{ x,y\in A}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ x=[0,x_2,x_3]\\y=[0,y_2,y_3]}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ x+y=[0,x_2,x_3]+[0,y_2,y_3]=[0,x_2+y_2,x_3+y_3]\in A}\)

Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\)

Baza przestrzeni:
\(\displaystyle{ B=\{ (0,b_1,b_2),(0,\overline{b_1},\overline{b_2}):b_1\cdot \overline{b_2}-b_2\cdot\overline{b_1}\neq 0\}}\)
Wymiar:
\(\displaystyle{ \mathrm{dim} B=2}\)