wyznacz mozliwe wartości wyznacznika macierzy

[afro1]

Otóż zadanie:

jakie są mozliwe wartości wyznacznika macierzy A stopnia n, jeśli:

a) \(\displaystyle{ A ^{2} = 8*A ^{-1}}\)

b) \(\displaystyle{ A ^{3} - A = 0}\)

c) \(\displaystyle{ A ^{T} = 4*A ^{-1}}\)

w pierwszym przykładzie doszedłem do postaci \(\displaystyle{ A ^{3} = 8*I}\)

z góry dzięki za wszelkie wskazówki

oraz macierz, którą przekształcam do postaci górnej trójkątnej już którąś godzinę :/

polecenie: zapisz wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) w postaci wielomianu zmiennej \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-x&0&0&a_{1}\\a_{2}&-x&0&0\\0&a_{3}&-x&0\\0&0&a_{4}&-x\end{array}\right]}\)

[kuch2r]

Lemat 1
\(\displaystyle{ \det{(A\cdot B)}=\det A \cdot \det B}\)
Lemat 2
\(\displaystyle{ \det{A^{-1}}=(\det A)^{-1}=\frac{1}{\det A}}\)
Lemat 3
\(\displaystyle{ \det{A^{T}}=\det A}\)
Lemat 4
\(\displaystyle{ \det {I}=1}\)

Powyzsze lematy powinny Ci pomoc w sprawwnym rozwiazaniu....

W przypadku zapisu wyznacznika macierzy A w postaci zmiennej x, dokonaj rozwiniecia Laplace'a wzgledem wiersza lub kolumny.

[afro1]

Dzięki wielkie


W przykładach mam

w 1: \(\displaystyle{ detA=2^{n}}\)
w 2: \(\displaystyle{ detA=0 \vee detA=1 \vee detA=-1}\)
w 3: \(\displaystyle{ detA=4^{n} \vee detA=-4^{n}}\)

Niestety z tą macierzą mam wciąż problemy. rozwinięcie Laplace'a względem 4 wiersza daje wyznacznik w postaci: \(\displaystyle{ detA=x^{4}-a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\)

wydaje mi się, że względem obojętnie której kolumny/wiersza bym to zrobił to i tak nie przedstawię wyznacznika w postaci samych X-ów.

Jak mam zadziałać?

[kuch2r]

wszystko jest ok, przeciez \(\displaystyle{ a_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\) sa to ustalone elementy tej macierzy.

[afro1]

rzeczywiście ;]

muszę się przyzwyczaić do, trochę innej niż szkolna, matematyki.
dzięki