Generowanie przestrzeni

[aźga]

Mam wektory \(\displaystyle{ w _{1}}\) =(2,1) \(\displaystyle{ w _{2}}\) =(-1,1) \(\displaystyle{ w _{3}}\) =(1,-2) i mam przestrzeń (\(\displaystyle{ R ^{2}}\) ,R, \(\displaystyle{ \oplus}\),*) z działaniami naturalnymi. I mam sprawdzic czy układ wektorów
{\(\displaystyle{ w _{1}}\) , \(\displaystyle{ w _{2}}\) , \(\displaystyle{ w _{1}}\)\(\displaystyle{ \oplus}\)\(\displaystyle{ w _{2}}\) \(\displaystyle{ \oplus}\)(-2) * \(\displaystyle{ w _{3}}\) } generuje \(\displaystyle{ R ^{2}}\) ?

No więc z powyższych wzorów wyliczyłam, że układ tych wektorów to będzie:
\(\displaystyle{ V _{1}}\) = (2,1)
\(\displaystyle{ V _{2}}\) = (-1,1)
\(\displaystyle{ V _{3}}\) = (-1,6) 1. pytanie: czy dobrze wyliczylam?

Potem sprawdzałam czy dla każdego \(\displaystyle{ x z R ^{2}}\) Istnieją afla jeden, alfa dwa, alfa trzy należące do R takie, że:
(\(\displaystyle{ x _{1}}\) , \(\displaystyle{ x _{2}}\) ) = (\(\displaystyle{ alfa _{1}}\) * (2,1)) \(\displaystyle{ \oplus}\) (\(\displaystyle{ alfa _{2}}\) * (-1,1)) \(\displaystyle{ \oplus}\) (\(\displaystyle{ alfa _{3}}\) * (-1,6))
Z tego powinnam wyliczyc \(\displaystyle{ alfa _{1}}\) \(\displaystyle{ alfa _{2}}\) i \(\displaystyle{ alfa _{3}}\) za pomocą \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) , ale jak to zrobic jesli wyjdą mi dwa równania z trzema niewiadomymi? Czy trzy wektory mogą generowac przestrzeń \(\displaystyle{ R ^{2}}\) ?

[andkom]

Zauważ, że już same wektory \(\displaystyle{ w_1}\) i \(\displaystyle{ w_2}\) generują całe \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\):

\(\displaystyle{ (x,y)=\frac{x+y}3*(2,1)\oplus\frac{2y-x}3*(-1,1)}\)

Tym bardziej wszystkie trzy wektory \(\displaystyle{ w_1, w_2, w_3}\) generują całe \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\):

\(\displaystyle{ (x,y)=\frac{x+y}3*w_1\oplus\frac{2y-x}3*w_2\oplus0*V_3}\)