znaleźć równanie płaszczyzny

[Linka87]

Znaleźć równanie płaszczyzny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\) równoległej do płaszczyzny

\(\displaystyle{ \pi= \begin{cases} x_{1} - x_{3} + 3x_{4} - 1 = 0\\2x_{1} + x_{2} - x_{3} - 6 = 0\end{cases}}\)

i zawierającej prostą

\(\displaystyle{ l \ = \begin{cases} x_{1} = 3 + t \\x_{2} = -1 -t \\ x_{3} = 2t \\ x_{4} = 1 + 3t \end{cases}}\)

[Emiel Regis]

No to już jest Twoje ciekawsze zadanie; )

Ja bym je zrobił tak:
Jak zwykle szukamy równania parametrycznego czyli potrzebujemy mieć 3 wektory równoległe do szukanej płaszczyzny oraz jeden punkt który do niej należy.

Pierwszy wektor i punkt odczytujemy z prostej:
\(\displaystyle{ u=(1,-1,2,3)}\)
\(\displaystyle{ A(3,-1,0,1)}\)

Z równania \(\displaystyle{ \pi}\) odczytujemy dwa wektory prostopadłe do szukanej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ n_1=(1,0,-1,3)}\)
\(\displaystyle{ n_2=(2,1,-1,0)}\)

Pozostały nam jeszcze do znalezienia dwa wektory \(\displaystyle{ v=(a,b,c,d)}\) oraz \(\displaystyle{ w=(e,f,g,h)}\) które muszą być prostopadłe do w/w wektorów normalnych (wtedy będą równoległe do szukanej płaszczyzny). Czyli iloczyn skalarny musi się zerować:
\(\displaystyle{ n_1 \circ v = 0}\)
\(\displaystyle{ n_2 \circ v= 0}\)
Powyższy układ ma oczywiscie nieskonczenie wiele rozwiazan, ja sobie odczytałem np takie:
\(\displaystyle{ v=(0,3,3,1)}\) oraz dla drugiego wektora robimy to samo i mamy \(\displaystyle{ w=(1,-1,1,0)}\)
Majac już 3 wektory i punkt możesz napisać już [tak jak w poprzednich zadaniach] równanie parametryczne płaszczyzny.

Oczywiście jeszcze wypada sprawdzić czy te wektory są liniowo niezależne ale to już myśle umiesz, ja sprawdziłem i są.