Matematyka.pl

męczę się nad sprawdzeniem symetryczności i przechodniości takiej relacji:
RELACJA\(\displaystyle{ \subset}\) Z^2 xRELACJAy wtw gdy istenieje takie k należące do całkowitych że 3x-y=2k
i nie moge tego ruszyc.

2. Mam sprawdzić czy działanie xDZIALANIEy=x+y-2xy dla xy< 1/2 jest wewnętrzne, łączne, ma el. neutralny??

dzięki za każdą pomoc....jutro kolowkium...

Ad.1
Symetryczność) Jeśli \(\displaystyle{ 3x-y=2k}\), więc mamy z przechodniości udowodnić, że \(\displaystyle{ 3y-x=2s}\) gdzie \(\displaystyle{ s\in Z}\) więc
\(\displaystyle{ 3x-y=2k}\) =>\(\displaystyle{ -x+4x+3y-4y=2k}\)=>\(\displaystyle{ 3y-x=2(2y-2x+k)}\) gdzie \(\displaystyle{ s=(2y-2x+k)\in Z}\)

Przechodniość)
wiec mamy dwa równanka
\(\displaystyle{ 3x-y=2k}\)
\(\displaystyle{ 3y-z=2s}\)
pierwsze mnożymy obustronnie przez 3 i sumujemy z drugim dzięki czemu
\(\displaystyle{ 9x-z=6k+2s}\) => \(\displaystyle{ 3x-z=2(3k+s-3x)}\) gdzie \(\displaystyle{ (3k+s-3x)\in Z}\)

Ad.2 wprost z def.