kwadryki

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

kwadryki

Post autor: xkatekx »

Niech a oznacza resztę z dzielenia 2 przez 3. Określić
(a) typ krzywej drugiego stopnia o równaniu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+\left(a+1\right)xy+2x+3y-1=0 }\)
(b) typ i położenie w układzie współrzędnych kwadryki o równaniu
\(\displaystyle{ 4x^2-y^2-z^2+9x-10y+az+2=0}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: kwadryki

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ a = 2:3 = 0 \ \ reszta \ \ 2. }\)

(a)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 +(2+1)x\cdot y +2x + 3y -1 = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^2 +y^2 +3xy +2x +3y -1 = 0 }\)

Postać macierzowa kwadryki:

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x & y \end{matrix} \right]^{T} \cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1,5\\ 1,5 &1 \end{matrix} \right]\cdot \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix}2 & 3 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] -1 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \vec{x}^{T} \cdot A \cdot \vec{x} + K\vec{x} -1 = 0 \ \ (1)}\)

Metoda przekształcenia ortogonalnego.

Znajdujemy wartości własne macierzy kwadryki:

\(\displaystyle{ \det (A-\lambda I) = \det \left[ \begin{matrix} 1-\lambda & 1,5\\ 1,5 &1-\lambda \end{matrix} \right] = (1-\lambda)^2 - 2,25 = (1-\lambda -1,5)(1-\lambda +1,5) = (-0,5-\lambda)(2,5-\lambda) = 0, }\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = -0,5, \ \lambda_{2} = 2,5. }\)

Znajdujemy wektory własne macierzy, odpowiadające jej wartościom własnym:

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = -0,5:}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1,5 & 1,5\\ 1,5 & 1,5 \end{matrix} \right]\cdot \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1,5a + 1,5b = 0 \\ 1,5a +1,5b = 0 \end{cases} \leftrightarrow -a = b, }\)

-\(\displaystyle{ \vec{w}_{1} = \left[\begin{matrix} a \\ -a \end{matrix} \right] = b\cdot \left[\begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right], b\in \RR.}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{2} = 2,5: }\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} -1,5 & 1,5\\ 1,5 & -1,5 \end{matrix} \right]\cdot \left[\begin{matrix} c \\ d \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix} \right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -1,5c + 1,5d = 0 \\ -1,5c +1,5d = 0 \end{cases} \leftrightarrow c = d, }\)

\(\displaystyle{ \vec{w}_{2} = \left[\begin{matrix} c\\ c \end{matrix} \right] = c \cdot \left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right], c\in \RR.}\)

Bazę ortonormalną - diagonalizującą, złożoną z wektorów własnych macierzy \(\displaystyle{ A }\) tworzą wektory:

\(\displaystyle{ \vec{v}_{1} = \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right],}\)

\(\displaystyle{ \vec{v}_{2} = \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right],}\)

Macierz diagonalizująca:

\(\displaystyle{ P = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right] }\)

\(\displaystyle{ \vec{x} = P\cdot \vec{x'} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \det P = 1 }\) - przekształcenie ortogonalne jest obrotem o kąt \(\displaystyle{ 45^{o}. }\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ (P\cdot \vec{x'})^{T} \cdot A \cdot (P\cdot \vec{x})+ K\cdot (P\cdot \vec{x'})-1 = 0 }\)

lub

\(\displaystyle{ (\vec{x'})^{T}\cdot (P^{t}\cdot A \cdot P)+ K\cdot (P\cdot \vec{x'})- 1 = 0 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ (P^{t}\cdot A \cdot P) = \left[\begin{matrix} -0,5 & 0 \\ 0 & 2,5 \end{matrix} \right],}\)

\(\displaystyle{ K\cdot P = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \end{matrix} \right ]\cdot \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{5}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right]. }\)

Kwadryka po obrocie przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ -0,5x'^2 + 2,5y'^2 - \frac{1}{\sqrt{2}}x' + \frac{5}{\sqrt{2}}y' - 1 = 0. }\)

Sprowadzamy ją do postaci kanonicznej, uzupełniając do pełnych kwadratów:

\(\displaystyle{ - 0,5\left [x'^2 +2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \right] + 2,5\left[ y'^2 +2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \right] + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2,5\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 -1 = 0 }\)

\(\displaystyle{ -0,5\left( x' + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2,5\left( y' + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2 }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ x^{''} = x' - \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ y^{''} = y' + \frac{1}{\sqrt{2}} }\) sprowadzają kwadrykę do postaci:

\(\displaystyle{ -0,5x"^2 + 2,5 y"^2 = 2 }\)

\(\displaystyle{ -\frac{x"^2}{\frac{2}{0,5}} + \frac{y"^2}{\frac{2}{2,5}} = 1, }\)


\(\displaystyle{ -\frac{x"^2}{4} + \frac{y"^2}{0,8} = 1, }\)

\(\displaystyle{ -\frac{x"^2}{2^2} + \frac{y"^2}{\sqrt{0,8}^2} =1.}\)

Jest to równanie hiperboli.

(b) - możemy rozwiązać w podobny sposób.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: kwadryki

Post autor: a4karo »

Wygląda jak jakaś wiedza tajemna. Ale nie. To tylko trochę prostej algebry - uzupełnianie do kwadratu.
\(\displaystyle{ x^2+y^2+3xy+2x+3y-1\\
=\red{x^2+2\cdot\frac32 +\frac94y^2}-\frac54y^2+2x+3y-1\\
=\left(x+\frac32y\right)^2+2\left(x+\frac32y\right)-\frac54y^2-1\\
=\red{\left(x+\frac32y\right)^2+2\left(x+\frac32y\right)+1}-\frac54y^2-2\\
=\left(x+\frac32y+1\right)^2-\frac54y^2-2}\)


Można też tak: niech \(\displaystyle{ x=X+Y, \ y=X-Y}\). Wtedy
\(\displaystyle{ x^2+y^2+3xy+2x+3y-1\\
X^2+2XY+Y^2+X^2+2XY+Y^2+3(X^2-Y^2)+2(X+Y)+3(X-Y)-1\\
=5X^2-Y^2+5X-Y-1\\
=5\left(X^2+X+\frac14\right)-\left(Y^2+Y+\frac14\right)-2\\
=5\left(X+\frac12\right)^2-\left(Y+\frac12\right)^2-2\\
=5\left(\frac{x+y+1}2\right)^2-\left(\frac{x-y+1}2\right)^2-2}\)


Dodano po 1 minucie 10 sekundach:
A w b) po prostu uzupełniasz trzy grupy wyrazów do kwadratów i patrzysz, co wyszło.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: kwadryki

Post autor: janusz47 »

W drugiej linijce brakuje iloczynu \(\displaystyle{ x\cdot y. }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: kwadryki

Post autor: a4karo »

Fakt, dzięki @janusz47.

Powinno być
\(\displaystyle{ =\red{x^2+2\cdot\frac32xy +\frac94y^2}-\frac54y^2+2x+3y-1}\)
ODPOWIEDZ