Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 12 razy
Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) wyznaczyć równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x−y+z+9=0 \\ 2x−3y−2z−2=0 \end{cases} }\)
i zawierającej punkt \(\displaystyle{ p=\left( 1,2,9\right) }\). Wyznaczyć odległość punktu \(\displaystyle{ p}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x−y+z+9=0 \\ 2x−3y−2z−2=0 \end{cases} }\)
i zawierającej punkt \(\displaystyle{ p=\left( 1,2,9\right) }\). Wyznaczyć odległość punktu \(\displaystyle{ p}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\).
Ostatnio zmieniony 28 cze 2022, o 20:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Hint 1. Wiesz jak dana jest prosta \(\displaystyle{ l}\). Co można z tego napisu wyciągnąć?
Hint 2. Iloczyn wektorowy daje wektor prostopadły.
Hint 3. Wzór na równanie płaszczyzny zawiera jej wektor normalny.
Hint 2. Iloczyn wektorowy daje wektor prostopadły.
Hint 3. Wzór na równanie płaszczyzny zawiera jej wektor normalny.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 12 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Równanie kanoniczne tej prostej wynosi, jak się nie pomyliłam w obliczeniach \(\displaystyle{ \frac{x}{5}=\frac{y-\frac{16}{5}}{-4}=\frac{z+\frac{29}{5}}{-1}}\)
Dalej
\(\displaystyle{ \vec{v} =\left[ 5,-4,-1\right] }\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) przyjęłam \(\displaystyle{ B=\left( 1,\frac{12}{5},-6\right) }\), więc
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 0,\frac{2}{5},-15\right] }\)
I wyszło mi, że
\(\displaystyle{ d\left( A,l\right)=\frac{ \sqrt{9741018}} {210} }\), więc nie wiem, czy dobrze.
Dalej
\(\displaystyle{ \vec{v} =\left[ 5,-4,-1\right] }\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) przyjęłam \(\displaystyle{ B=\left( 1,\frac{12}{5},-6\right) }\), więc
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 0,\frac{2}{5},-15\right] }\)
I wyszło mi, że
\(\displaystyle{ d\left( A,l\right)=\frac{ \sqrt{9741018}} {210} }\), więc nie wiem, czy dobrze.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Równanie kanoniczne nie jest nam raczej potrzebne ale jeśli łatwiej Ci z niego korzystać to ok. Rachunkowo coś jest chyba źle bo wektor kierunkowy to raczej \(\displaystyle{ (5,4,-1)}\). To co dzieje się dalej jest dla mnie zagadką. Nie wiem czym jest punkt \(\displaystyle{ B}\) ani \(\displaystyle{ A}\). Skoro masz wektor normalny płaszczyzny to możesz zapisać \(\displaystyle{ 5x+4y-z+D=0}\) i \(\displaystyle{ D}\) dobrać tak aby \(\displaystyle{ p}\) spełniał to równanie. Co do kolejnej części zadania której ostatnio nie zauważyłem to podstaw pod wzór na odległość punktu od prostej.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 12 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Mój błąd, zamieniłam oznaczenie punktu z \(\displaystyle{ p}\) na \(\displaystyle{ A}\). A jak inaczej obliczyć odległość punktu od prostej jak nie przez \(\displaystyle{ d\left( p,l\right) =\frac{\left| \vec{v} \times \vec{pB} \right| }{\left| \vec{v} \right| }}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest punktem leżącym na prostej?
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
No jak już wyznaczysz równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l}\), to wyznaczasz punkt przecięcia tej płaszczyzny z prostą \(\displaystyle{ l}\) i liczysz odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ p}\).
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 12 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
\(\displaystyle{ \pi: 5x-4y-z+12=0 }\)
Czyli, do postaci parametrycznej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t \\ y=-4t+\frac{16}{5} \\ z=-t-\frac{29}{5} \end{cases} t \in Z}\)
\(\displaystyle{ P=\left( x,y,z\right) =\left( 5t,-4t+\frac{16}{5},-t-\frac{29}{5}\right) }\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 5t-4\left( -4t+\frac{16}{5}\right) -\left( -t-\frac{29}{5}\right)+12=0 }\)
\(\displaystyle{ t=-\frac{5}{24}}\)
\(\displaystyle{ P=\left( -\frac{25}{24}, \frac{121}{30}, -\frac{671}{120}\right) }\), tak?
Czyli, do postaci parametrycznej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t \\ y=-4t+\frac{16}{5} \\ z=-t-\frac{29}{5} \end{cases} t \in Z}\)
\(\displaystyle{ P=\left( x,y,z\right) =\left( 5t,-4t+\frac{16}{5},-t-\frac{29}{5}\right) }\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 5t-4\left( -4t+\frac{16}{5}\right) -\left( -t-\frac{29}{5}\right)+12=0 }\)
\(\displaystyle{ t=-\frac{5}{24}}\)
\(\displaystyle{ P=\left( -\frac{25}{24}, \frac{121}{30}, -\frac{671}{120}\right) }\), tak?
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Zgadzam się z Januszem Traczem, że to nie jest poprawne równanie szukanej płaszczyzny. Powinno być \(\displaystyle{ 5x\,\red{+}\,4y-z-4=0.}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 12 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Nie potrafię dojść dlaczego.
\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,-4,-1\right] }\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,-4,-1\right] }\)
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Bo masz zły wzór na liczenie iloczynu wektorowego. Powinno byćxkatekx pisze: ↑28 cze 2022, o 22:31Nie potrafię dojść dlaczego.
\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,-4,-1\right] }\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\red{-}\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,4,-1\right] . }\)
JK
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
No i teraz masz punkt wspólny prostej i płaszczyzny, np. z układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x−y+z=-9 \\ 2x−3y−2z=2\\ 5x+4y−z=4, \end{cases}}\)
którego odległość od punktu \(\displaystyle{ p}\) jest szukaną odległością od prostej.
JK
\(\displaystyle{ \begin{cases} x−y+z=-9 \\ 2x−3y−2z=2\\ 5x+4y−z=4, \end{cases}}\)
którego odległość od punktu \(\displaystyle{ p}\) jest szukaną odległością od prostej.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
A teraz trochę prościej:
Zapiszmy układ
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x−y+z+9=0 \\ 2x−3y−2z−2=0 \end{cases}}\) w postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} x−y=-z-9 \\ 2x−3y=2z+2 \end{cases}}\)
Od równania drugiego odejmujemy dwa razy pierwsze i dostajemy
\(\displaystyle{ -y=4z+20}\)
a wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy
\(\displaystyle{ x=-5z-29}\)
W ten sposób - przyjmując `t=z` dochodzimy do parametrycznego równanie prostej
\(\displaystyle{ (-5t-29, -4t-20, t)}\), skąd widać, że wektor \(\displaystyle{ [-5,-4,1]}\) jest równoległy do `l`, czyli prostopadły do szukanej płaszczyzny.
Równaniem szukanej płaszczyzny jest zatem `-5x-4y+1=D` i wartość `D` znajdujemy podstawiając współrzędne punktu `p`
Aby wyznaczyć kwadrat odległości punktu `p` od prostej `l` wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji
\(\displaystyle{ d^2(t)=(-5t-29-1)^2+(-4t-20-2)^2+(t-9)^2=42 t^2 + 458 t + 1465=42\left(\red{t^2+2\frac{458}{2\cdot 42}t+\left(\frac{458}{84}\right)^2}-\left(\frac{458}{84}\right)^2\right)+1465\\
=42\red{\left(t-\frac{458}{48}\right)^2}+1465-42\cdot\left(\frac{458}{84}\right)^2=42\left(t-\frac{458}{48}\right)^2+\frac{9089}{42}}\)
Stąd odległośc punktu `d` od prostej `l` wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{9089}{42}}}\)
Zapiszmy układ
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x−y+z+9=0 \\ 2x−3y−2z−2=0 \end{cases}}\) w postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} x−y=-z-9 \\ 2x−3y=2z+2 \end{cases}}\)
Od równania drugiego odejmujemy dwa razy pierwsze i dostajemy
\(\displaystyle{ -y=4z+20}\)
a wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy
\(\displaystyle{ x=-5z-29}\)
W ten sposób - przyjmując `t=z` dochodzimy do parametrycznego równanie prostej
\(\displaystyle{ (-5t-29, -4t-20, t)}\), skąd widać, że wektor \(\displaystyle{ [-5,-4,1]}\) jest równoległy do `l`, czyli prostopadły do szukanej płaszczyzny.
Równaniem szukanej płaszczyzny jest zatem `-5x-4y+1=D` i wartość `D` znajdujemy podstawiając współrzędne punktu `p`
Aby wyznaczyć kwadrat odległości punktu `p` od prostej `l` wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji
\(\displaystyle{ d^2(t)=(-5t-29-1)^2+(-4t-20-2)^2+(t-9)^2=42 t^2 + 458 t + 1465=42\left(\red{t^2+2\frac{458}{2\cdot 42}t+\left(\frac{458}{84}\right)^2}-\left(\frac{458}{84}\right)^2\right)+1465\\
=42\red{\left(t-\frac{458}{48}\right)^2}+1465-42\cdot\left(\frac{458}{84}\right)^2=42\left(t-\frac{458}{48}\right)^2+\frac{9089}{42}}\)
Stąd odległośc punktu `d` od prostej `l` wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{9089}{42}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej
Z postaci krawędziowej prostej:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x -y + z +9 = 0 \\ 2x-3y -2z -2 = 0 \end{cases} }\)
wyznaczamy współczynniki kierunkowe (współrzędne wektora kierunkowego prostej) \(\displaystyle{ \vec{v} }\)
\(\displaystyle{ a = \left| \begin{matrix} -1 & 1\\-3 &-2 \end{matrix} \right| = 2 +3 = 5, }\)
\(\displaystyle{ b = -\left| \begin{matrix} 1 & 1\\2 &-2 \end{matrix} \right| = -(-2 -2) = 4, }\)
\(\displaystyle{ c= \left| \begin{matrix} 1 & -1\\2 &-3 \end{matrix} \right| = -3 +2 = -1. }\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = [ 5, 4, -1]. }\)
Szukana płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi }\) ma być prostopadła do prostej.
Stąd wynika, że wektor prostopadły płaszczyzny musi być równoległy do wektora kierunkowego prostej i płaszczyzna ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ p = (1,2,9).}\)
Stąd jej równanie:
\(\displaystyle{ \pi: \ \ 5\cdot (x -1) + 4\cdot(y-2) -1\cdot ( z- 9) = 0 }\)
\(\displaystyle{ 5x -5 +4y -8 -z + 9 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \pi: \ \ 5x + 4y -z - 4 = 0 }\)
Odległość \(\displaystyle{ d }\) punktu \(\displaystyle{ p }\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) wynosi:
\(\displaystyle{ d( p, \pi) = \frac{| 5\cdot 1 + 4\cdot 2 + 9\cdot (-1)|}{\sqrt{5^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{42}}.}\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x -y + z +9 = 0 \\ 2x-3y -2z -2 = 0 \end{cases} }\)
wyznaczamy współczynniki kierunkowe (współrzędne wektora kierunkowego prostej) \(\displaystyle{ \vec{v} }\)
\(\displaystyle{ a = \left| \begin{matrix} -1 & 1\\-3 &-2 \end{matrix} \right| = 2 +3 = 5, }\)
\(\displaystyle{ b = -\left| \begin{matrix} 1 & 1\\2 &-2 \end{matrix} \right| = -(-2 -2) = 4, }\)
\(\displaystyle{ c= \left| \begin{matrix} 1 & -1\\2 &-3 \end{matrix} \right| = -3 +2 = -1. }\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = [ 5, 4, -1]. }\)
Szukana płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi }\) ma być prostopadła do prostej.
Stąd wynika, że wektor prostopadły płaszczyzny musi być równoległy do wektora kierunkowego prostej i płaszczyzna ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ p = (1,2,9).}\)
Stąd jej równanie:
\(\displaystyle{ \pi: \ \ 5\cdot (x -1) + 4\cdot(y-2) -1\cdot ( z- 9) = 0 }\)
\(\displaystyle{ 5x -5 +4y -8 -z + 9 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \pi: \ \ 5x + 4y -z - 4 = 0 }\)
Odległość \(\displaystyle{ d }\) punktu \(\displaystyle{ p }\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) wynosi:
\(\displaystyle{ d( p, \pi) = \frac{| 5\cdot 1 + 4\cdot 2 + 9\cdot (-1)|}{\sqrt{5^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{42}}.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy