To wyznaczmy odległość punktu od prostej.
Równanie parametryczne prostej:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = x_{0} - 4t \\ y = y_{0} +4t \\ z = z_{0} - t, \end{cases} }\)
podstawiamy do równania płaszczyzny, znajdując współrzędne punktu \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0}, z_{0}) }\) i wartość parametru \(\displaystyle{ t,}\)
\(\displaystyle{ 5x_{0} -20 t +4y_{0} +16 t -z_{0} + t -4 =0, }\)
\(\displaystyle{ 5x_{0} + 4y_{0} - z_{0} = 4 -3t,}\)
\(\displaystyle{ p_{0} = ( 1, -1, 1), \ \ t = \frac{4}{3}.}\)
Współrzrzędne punktu przebicia płaszczyzny prostą:
\(\displaystyle{ (x_{p}, y_{p}, z_{p}) =\left(1 - \frac{16}{3}, -1 + \frac{16}{3}, 1 -\frac{4}{3} \right) = \left( -\frac{13}{3},\frac{13}{3},-\frac{1}{3} \right). }\)
Odległość punktu \(\displaystyle{ p }\) od prostej \(\displaystyle{ l }\)
\(\displaystyle{ d(p, l) = \sqrt{(1 +\frac{13}{3})^2 + (2-\frac{13}{3})^2 + (9 +\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{16^2}{9}+\frac{(-7)^2}{9} + \frac{28^2}{9}} = \frac{\sqrt{1089}}{\sqrt{9}}= \frac{33}{3} = 11.}\)