Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: xkatekx »

W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) wyznaczyć równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x−y+z+9=0 \\ 2x−3y−2z−2=0 \end{cases} }\)

i zawierającej punkt \(\displaystyle{ p=\left( 1,2,9\right) }\). Wyznaczyć odległość punktu \(\displaystyle{ p}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\).
Ostatnio zmieniony 28 cze 2022, o 20:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Janusz Tracz »

Hint 1. Wiesz jak dana jest prosta \(\displaystyle{ l}\). Co można z tego napisu wyciągnąć?
Hint 2. Iloczyn wektorowy daje wektor prostopadły.
Hint 3. Wzór na równanie płaszczyzny zawiera jej wektor normalny.
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: xkatekx »

Równanie kanoniczne tej prostej wynosi, jak się nie pomyliłam w obliczeniach \(\displaystyle{ \frac{x}{5}=\frac{y-\frac{16}{5}}{-4}=\frac{z+\frac{29}{5}}{-1}}\)
Dalej
\(\displaystyle{ \vec{v} =\left[ 5,-4,-1\right] }\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) przyjęłam \(\displaystyle{ B=\left( 1,\frac{12}{5},-6\right) }\), więc
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 0,\frac{2}{5},-15\right] }\)
I wyszło mi, że
\(\displaystyle{ d\left( A,l\right)=\frac{ \sqrt{9741018}} {210} }\), więc nie wiem, czy dobrze.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Janusz Tracz »

xkatekx pisze: 28 cze 2022, o 18:49 Równanie kanoniczne tej prostej wynosi
Równanie kanoniczne nie jest nam raczej potrzebne ale jeśli łatwiej Ci z niego korzystać to ok. Rachunkowo coś jest chyba źle bo wektor kierunkowy to raczej \(\displaystyle{ (5,4,-1)}\). To co dzieje się dalej jest dla mnie zagadką. Nie wiem czym jest punkt \(\displaystyle{ B}\) ani \(\displaystyle{ A}\). Skoro masz wektor normalny płaszczyzny to możesz zapisać \(\displaystyle{ 5x+4y-z+D=0}\) i \(\displaystyle{ D}\) dobrać tak aby \(\displaystyle{ p}\) spełniał to równanie. Co do kolejnej części zadania której ostatnio nie zauważyłem to podstaw pod wzór na odległość punktu od prostej.
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: xkatekx »

Mój błąd, zamieniłam oznaczenie punktu z \(\displaystyle{ p}\) na \(\displaystyle{ A}\). A jak inaczej obliczyć odległość punktu od prostej jak nie przez \(\displaystyle{ d\left( p,l\right) =\frac{\left| \vec{v} \times \vec{pB} \right| }{\left| \vec{v} \right| }}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest punktem leżącym na prostej?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

No jak już wyznaczysz równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l}\), to wyznaczasz punkt przecięcia tej płaszczyzny z prostą \(\displaystyle{ l}\) i liczysz odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ p}\).

JK
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: xkatekx »

\(\displaystyle{ \pi: 5x-4y-z+12=0 }\)
Czyli, do postaci parametrycznej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5t \\ y=-4t+\frac{16}{5} \\ z=-t-\frac{29}{5} \end{cases} t \in Z}\)
\(\displaystyle{ P=\left( x,y,z\right) =\left( 5t,-4t+\frac{16}{5},-t-\frac{29}{5}\right) }\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 5t-4\left( -4t+\frac{16}{5}\right) -\left( -t-\frac{29}{5}\right)+12=0 }\)
\(\displaystyle{ t=-\frac{5}{24}}\)
\(\displaystyle{ P=\left( -\frac{25}{24}, \frac{121}{30}, -\frac{671}{120}\right) }\), tak?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

xkatekx pisze: 28 cze 2022, o 21:51\(\displaystyle{ \pi: 5x-4y-z+12=0 }\)
Zgadzam się z Januszem Traczem, że to nie jest poprawne równanie szukanej płaszczyzny. Powinno być \(\displaystyle{ 5x\,\red{+}\,4y-z-4=0.}\)

JK
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: xkatekx »

Nie potrafię dojść dlaczego.
\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,-4,-1\right] }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

xkatekx pisze: 28 cze 2022, o 22:31Nie potrafię dojść dlaczego.
\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,-4,-1\right] }\)
Bo masz zły wzór na liczenie iloczynu wektorowego. Powinno być

\(\displaystyle{ \left[ 1,-1,1\right] \times \left[ 2,-3,-2\right] =\left[\left| \begin{array}{cc} -1 & 1\\ -3& -2 \end{array} \right| ,\red{-}\left| \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2& -2 \end{array} \right|,\left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2& -3\end{array} \right| \right]=\left[ 5,4,-1\right] . }\)

JK
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: xkatekx »

O kurcze, nie wiedziałam, dziękuję bardzo!
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

No i teraz masz punkt wspólny prostej i płaszczyzny, np. z układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x−y+z=-9 \\ 2x−3y−2z=2\\ 5x+4y−z=4, \end{cases}}\)

którego odległość od punktu \(\displaystyle{ p}\) jest szukaną odległością od prostej.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: a4karo »

A teraz trochę prościej:
Zapiszmy układ
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x−y+z+9=0 \\ 2x−3y−2z−2=0 \end{cases}}\) w postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} x−y=-z-9 \\ 2x−3y=2z+2 \end{cases}}\)

Od równania drugiego odejmujemy dwa razy pierwsze i dostajemy
\(\displaystyle{ -y=4z+20}\)
a wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy
\(\displaystyle{ x=-5z-29}\)

W ten sposób - przyjmując `t=z` dochodzimy do parametrycznego równanie prostej
\(\displaystyle{ (-5t-29, -4t-20, t)}\), skąd widać, że wektor \(\displaystyle{ [-5,-4,1]}\) jest równoległy do `l`, czyli prostopadły do szukanej płaszczyzny.
Równaniem szukanej płaszczyzny jest zatem `-5x-4y+1=D` i wartość `D` znajdujemy podstawiając współrzędne punktu `p`

Aby wyznaczyć kwadrat odległości punktu `p` od prostej `l` wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji
\(\displaystyle{ d^2(t)=(-5t-29-1)^2+(-4t-20-2)^2+(t-9)^2=42 t^2 + 458 t + 1465=42\left(\red{t^2+2\frac{458}{2\cdot 42}t+\left(\frac{458}{84}\right)^2}-\left(\frac{458}{84}\right)^2\right)+1465\\
=42\red{\left(t-\frac{458}{48}\right)^2}+1465-42\cdot\left(\frac{458}{84}\right)^2=42\left(t-\frac{458}{48}\right)^2+\frac{9089}{42}}\)


Stąd odległośc punktu `d` od prostej `l` wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{9089}{42}}}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: janusz47 »

Z postaci krawędziowej prostej:

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x -y + z +9 = 0 \\ 2x-3y -2z -2 = 0 \end{cases} }\)

wyznaczamy współczynniki kierunkowe (współrzędne wektora kierunkowego prostej) \(\displaystyle{ \vec{v} }\)

\(\displaystyle{ a = \left| \begin{matrix} -1 & 1\\-3 &-2 \end{matrix} \right| = 2 +3 = 5, }\)

\(\displaystyle{ b = -\left| \begin{matrix} 1 & 1\\2 &-2 \end{matrix} \right| = -(-2 -2) = 4, }\)

\(\displaystyle{ c= \left| \begin{matrix} 1 & -1\\2 &-3 \end{matrix} \right| = -3 +2 = -1. }\)

\(\displaystyle{ \vec{v} = [ 5, 4, -1]. }\)

Szukana płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi }\) ma być prostopadła do prostej.

Stąd wynika, że wektor prostopadły płaszczyzny musi być równoległy do wektora kierunkowego prostej i płaszczyzna ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ p = (1,2,9).}\)

Stąd jej równanie:

\(\displaystyle{ \pi: \ \ 5\cdot (x -1) + 4\cdot(y-2) -1\cdot ( z- 9) = 0 }\)

\(\displaystyle{ 5x -5 +4y -8 -z + 9 = 0 }\)

\(\displaystyle{ \pi: \ \ 5x + 4y -z - 4 = 0 }\)


Odległość \(\displaystyle{ d }\) punktu \(\displaystyle{ p }\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) wynosi:

\(\displaystyle{ d( p, \pi) = \frac{| 5\cdot 1 + 4\cdot 2 + 9\cdot (-1)|}{\sqrt{5^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{42}}.}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34130
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

janusz47 pisze: 29 cze 2022, o 13:38Odległość \(\displaystyle{ d }\) punktu \(\displaystyle{ p }\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi }\) wynosi:
Tylko że o tę odległość nikt nas nie pytał.

JK
ODPOWIEDZ