Które przekształcenie

[max123321]

Które z następujących przekształceń jest liniowe? Odpowiedź uzasadnij:
\(\displaystyle{ L:\RR^4 \rightarrow \RR^2,\ L(x,y,z,t)=(-x+3z+t,y-z)}\)
\(\displaystyle{ K:\RR^2 \rightarrow \RR^4,\ K(x,y)=(x+y,x \cdot y)}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[Jan Kraszewski]

Tu nie ma żadnej tajemnicy - definicja (przekształcenia liniowego) w dłoń i sprawdzasz (choć w zasadzie od razu widać, które jest, a które nie jest...).

W drugim masz źle określoną przeciwdziedzinę.

JK

[max123321]

No dobra mam tą definicję. No to a) to robię tak:
\(\displaystyle{ L(X+Y)=L((x,y,z,t)+(p,q,r,w))=L(x+p,y+q,z+r,t+w)=(-x-p+3z+3r+t+w,y+q-z-r)=\\=(-x+3z+t,y-z)+(-p+3r+w,q-r)=L(X)+L(Y)}\)
To była addytywność. Teraz jednorodność:
\(\displaystyle{ L(cX)=L(cx,cy,cz,ct)=(-cx+3cz+ct,cy-cz)=c(-x+3z+t,y-z)=cL(X)}\)

Czy tak jest dobrze?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[max123321]

No ok, czyli to pierwsze jest liniowe. Teraz kontrprzykład do drugiego.
Niech \(\displaystyle{ x=(2,3),y=(5,6)}\)
\(\displaystyle{ K(x+y)=K((2,3)+(5,6))=K(7,9)=(16,63)}\)
\(\displaystyle{ K(x)+K(y)=K(2,3)+K(5,6)=(5,6)+(11,30)=(16,36)}\)
Zatem \(\displaystyle{ K(x+y) \neq K(x)+K(y)}\) czyli to przekształcenie nie jest liniowe.

Może być takie uzasadnienie?

A no i ta przeciwdziedzina powinna być chyba \(\displaystyle{ \RR^2}\).

[Jan Kraszewski]

Tak i tak.

JK