Zbadać, czy macierz A jest diagonalizowalna nad R oraz C

[Rayla]

Zadanie jak w tytule. Są podane 4 macierze, podam jedną:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0\\2&-2&0\\0&0&-3\end{bmatrix}}\).

Wyszło mi, że jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \RR}\), ale nie mam pojęcia, jak się zabrać za drugą część zadania.

Jeszcze mam inne, podobne zadanie: Podaj przykład macierzy \(\displaystyle{ A \in M _{2\times 2}(\QQ) }\), która nie jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \QQ}\), ale jest nad \(\displaystyle{ \RR}\).

[Dasio11]

Jeśli macierz jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \RR}\), to nad \(\displaystyle{ \CC}\) tym bardziej.

Odnośnie drugiego zadania, pomyśl o jakiejś macierzy, której wielomian charakterystyczny rozkłada się nad \(\displaystyle{ \RR}\) ale nie nad \(\displaystyle{ \QQ}\), na przykład \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}}\).

[Rayla]

Jeśli macierz jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \RR}\), to nad \(\displaystyle{ \CC}\) tym bardziej.

Niekoniecznie tak musi być w każdym przypadku. Jak mam to sprawdzić? Mógłbyś wytłumaczyć dokładnie krok po kroku?
Za drugie zadanie dzięki, już rozumiem.

[Dasio11]

No jak to nie? Jeśli macierz jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \RR}\), to z definicji przedstawia się w postaci \(\displaystyle{ PDP^{-1}}\) dla pewnej macierzy diagonalnej \(\displaystyle{ D}\) i macierzy odwracalnej \(\displaystyle{ P}\), obie o współczynnikach rzeczywistych. Każda macierz o współczynnikach rzeczywistych jest macierzą o współczynnikach zespolonych, więc rzeczone przedstawienie dowodzi, że macierz diagonalizuje się również nad \(\displaystyle{ \CC}\).

Nie zachodzi natomiast implikacja odwrotna - czasami macierz diagonalizuje się nad \(\displaystyle{ \CC}\), a nad \(\displaystyle{ \RR}\) już nie.

[Rayla]

Dobra, ma to wszystko sens. Natknęłam się na jeszcze 1 problem w tym zadaniu. W innej macierzy wyszedł mi układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+2y=0 \Rightarrow x=y \\ -2x-2y=0 \Rightarrow x=-y \end{cases}}\)

Czy to znaczy, że mam utworzyć 2 wektory własne \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}y\\y\\z\end{array}\right] }\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-y\\y\\z\end{array}\right] }\), czy wybrać 1 z nich? Czy może z tego wynika, że po prostu \(\displaystyle{ x=0}\)? (\(\displaystyle{ z}\) wyszedł jako niezależny parametr)

[Dasio11]

Wektory własne muszą spełniać wszystkie równania z układu, więc w tym przypadku muszą mieć iks i igrek równe zeru.