Dzień dobry,
mam mały problem z tym zadaniem:
Opisz przestrzeń rozwiązań poniższego układu równań(np. poprzez podanie odpowiedniej bazy przestrzeni liniowej).
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} =0\\x_{1} + x_{2} + x_{3} =0\\x_{2} + x_{3} + x_{4} =0\\...\\x_{n-2} + x_{n-1} + x_{n} =0\\x_{n-1} + x_{n} =0\end{array}\right\}}\)
Rozpisałem sobie to dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }\) i tylko dla \(\displaystyle{ 5 }\) wychodzi mi wektor inny niż \(\displaystyle{ \vec{0}}\).
Dokładnie to dla \(\displaystyle{ n = 5 }\) w wyniku dostaję \(\displaystyle{ LIN\{ (-1, 1, 0, -1, 1) \} }\) a dla \(\displaystyle{ n \neq 5 }\) dostaję w wyniku \(\displaystyle{ \vec{0}. }\) Nie wiem jak pójść do przodu z tym. Czy mógłby ktoś doradzić w jaki sposób mniej lub bardziej formalny rozwiązać to zadanie? Z góry dziękuję za pomoc.
Problem z układem równań.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Problem z układem równań.
Odejmując od ostatniego równania przedostatnie, od przedostatniego przedprzedostatnie itd., dostajemy układ równoważny
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1 + x_2 = 0 \\
x_3 = 0 \\
x_4 - x_1 = 0 \\
x_5 - x_2 = 0 \\
\vdots \\
x_{n} - x_{n-3} = 0 \\
-x_{n-2} = 0
\end{cases}}\)
Wszystkie równania z wyjątkiem ostatniego mówią, że rozwiązania są postaci
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \\ t \\ -t \\ 0 \\ \vdots \\ \ast \end{pmatrix}}\)
przy czym ostatnia współrzędna zależy od reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez trzy. Dodatkowo ostatnie równanie mówi, że \(\displaystyle{ x_{n-2} = 0}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ n-2}\) jest niepodzielne przez trzy, to mówi ono że \(\displaystyle{ t = 0}\), czyli rozwiązaniem jest tylko wektor zerowy. Jeśli zaś \(\displaystyle{ n-2}\) dzieli się przez trzy, to owo ostatnie równanie tylko powtarza znaną już wcześniej informację, więc rozwiązaniami są
\(\displaystyle{ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \RR}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1 + x_2 = 0 \\
x_3 = 0 \\
x_4 - x_1 = 0 \\
x_5 - x_2 = 0 \\
\vdots \\
x_{n} - x_{n-3} = 0 \\
-x_{n-2} = 0
\end{cases}}\)
Wszystkie równania z wyjątkiem ostatniego mówią, że rozwiązania są postaci
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \\ t \\ -t \\ 0 \\ \vdots \\ \ast \end{pmatrix}}\)
przy czym ostatnia współrzędna zależy od reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez trzy. Dodatkowo ostatnie równanie mówi, że \(\displaystyle{ x_{n-2} = 0}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ n-2}\) jest niepodzielne przez trzy, to mówi ono że \(\displaystyle{ t = 0}\), czyli rozwiązaniem jest tylko wektor zerowy. Jeśli zaś \(\displaystyle{ n-2}\) dzieli się przez trzy, to owo ostatnie równanie tylko powtarza znaną już wcześniej informację, więc rozwiązaniami są
\(\displaystyle{ t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \RR}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 11 gru 2017, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 13 razy
Re: Problem z układem równań.
Dziękuję za pomoc. Teraz widzę, że nieuważnie to sobie rozpisałem i nie zauważyłem tych zależności.