Zadania z bazami

[Dzbanuszek112]

Cześć,
mam problem z dwoma poniższymi zadaniami. Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak się za nie zabrać?

1. W pewnej bazie czterowymiarowej przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) wektor \(\displaystyle{ u}\) ma składowe \(\displaystyle{ \left( 2, 3, 0, -1 \right) }\) . Jakie są składowe tego wektora w bazie tworzonej przez cztery wektory, które same w tamtej bazie mają składowe: \(\displaystyle{ \left( 3, 2, 1, 0 \right), \left( 2, 1, 1, 2 \right), \left( 1, 3, 2, 4 \right), \left( 0, 1, 2, 3 \right) }\) ? A może te cztery wektory nie tworzą bazy? Jak to sprawdzić?

2. W pewnej bazie trójwymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) wektory \(\displaystyle{ f_{1}, f _{2}, f _{3} }\) mają składowe \(\displaystyle{ (1, 0, 1), (0, 1, 0)}\) i \(\displaystyle{ (1, 0, -1)}\), a wektory \(\displaystyle{ v _{1} , v _{2} , v _{3} }\) składowe \(\displaystyle{ (1, 1, 1), (1, 1, 0)}\) i \(\displaystyle{ (1, 0, 0)}\).
Czy oba zbiory wektorów (każdy z osobna oczywiście) mogą być bazami przestrzeni \(\displaystyle{ V }\) ?

[Spektralny]

Liniową niezależność \(\displaystyle{ n}\) wektorów w przestrzeni \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej najłatwiej sprawdzać ustawiajac wektory w macierz i obliczając jej rząd: jeżeli wynosi \(\displaystyle{ n}\), jest to baza, w przeciwnym przypadku nie jest. Podejście to natychmiast rozwiązuje drugie zadanie.