Zbiór liniowo zależny oraz jego otoczka liniowa.

[richman11]

Dzień dobry,
czy mógłbym prosić o wskazówkę do tego zadania?
Treść:
1. Pokaż, że: \(\displaystyle{ U }\) jest zbiorem liniowo zależnym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje w nim wektor \(\displaystyle{ u \in U }\), taki, że \(\displaystyle{ LIN(U) = LIN(U \setminus\left\{ \vec{u} \right\} ) }\).
2. Pokaż też, że: jeśli \(\displaystyle{ U}\) nie zawiera wektora zerowego \(\displaystyle{ \vec{0}}\), to są przynajmniej dwa takie wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\).

Jeśli chodzi o podpunkt 1., to intuicję mam taką, aby pokazać implikację w obie strony.
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) zakładam, że \(\displaystyle{ U}\) jest liniowo zależny, a następnie pokazać z zasady ekstensjonalności równość zbiorów \(\displaystyle{ LIN(U) = LIN(U \setminus\left\{ \vec{u} \right\} ) }\). Nie bardzo tutaj widzę, jak wykorzystać założenie. Implikacji w lewo jeszcze nie rozważałem.
Z góry dziękuję za wskazówki.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) zakładam, że \(\displaystyle{ U}\) jest liniowo zależny (...). Nie bardzo tutaj widzę, jak wykorzystać założenie.

A co oznacza założenie? Co to znaczy, że ten zbiór jest liniowo zależny?

JK

[richman11]

Zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest liniowo zależny, czyli istnieje taka skończona liczba wektorów z tego zbioru \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} }\) oraz takie skalary \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha _{2}, ..., \alpha _{n} }\) należące do ciała, nie wszystkie zerowe, że \(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v_{1} + \alpha _{2} \cdot v_{2}+ ...+ \alpha _{n} \cdot v_{n} = 0 }\)
Taka definicja jest poprawna?

[Jan Kraszewski]

Tak. To wiesz, a co potrzebujesz? Zastanów się, co znaczy warunek \(\displaystyle{ LIN(U) = LIN(U \setminus\left\{ \vec{u} \right\} ) }\). I nie chodzi o zasadę ekstensjonalności, tylko o znaczenie tego warunku (tak naprawdę chodzi o znaczenie warunku \(\displaystyle{ LIN(U) \subseteq LIN(U \setminus\left\{ \vec{u} \right\} ) }\), bo drugie zawieranie jest oczywiste).

JK

[richman11]

Warunek \(\displaystyle{ LIN(U) = LIN(U \setminus \left\{ \vec{u} \right\}) }\) mówi mi, że zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ U}\) jest równy zbiorowi wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ U \setminus \left\{ \vec{u} \right\} }\). Czyli, że wektor \(\displaystyle{ u}\), można przedstawić jako kombinację liniową innych wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ U}\)?

[Jan Kraszewski]

Czyli, że wektor \(\displaystyle{ u}\), można przedstawić jako kombinację liniową innych wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ U}\)?

Tak. No to teraz przypomnij sobie, co Ci daje założenie i połącz kropki.

JK

[richman11]

Ok, rozumiem. Jeśli chodzi o implikację w lewo, to zakładam, że istnieje taki wektor \(\displaystyle{ u}\), że \(\displaystyle{ LIN(U) = LIN(U \setminus \left\{ \vec{u} \right\} ) }\) i z tego ma wynikać, że \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem liniowo zależnym. Z założenia mam, że istnieje taki wektor \(\displaystyle{ u}\), który można przedstawić jako kombinację liniową innych wektorów z \(\displaystyle{ U}\). I tu mam zagwozdkę, mianowicie, co jeśli wektor \(\displaystyle{ u = \vec{0} }\)? Wtedy kombinacja liniowa \(\displaystyle{ v _{1} \cdot \alpha _{1}+...+ v _{n} \cdot \alpha _{n} = \vec{0} }\), ale to mi chyba nic nie mówi o tym czy \(\displaystyle{ U}\) jest liniowo zależny. Czy ja mogę założyć, że wektor \(\displaystyle{ u}\) jest różny od \(\displaystyle{ \vec{0} }\)?

[Jan Kraszewski]

I tu mam zagwozdkę, mianowicie, co jeśli wektor \(\displaystyle{ u = \vec{0} }\)?

Trzeba wrócić do definicji liniowej zależności zbioru \(\displaystyle{ U}\). Zauważ, że każdy zbiór, do którego należy wektor zerowy, jest liniowo zależny, bo kombinacja liniowa \(\displaystyle{ 1\cdot \vec{0}=\vec{0}}\) spełnia warunek świadczący o liniowej zależności.

JK