Rozwiązanie kompletne układu równań

[humus]

Cześć, nie wiem jak liczy się ten typ zadań. Moim pomysłem było pomnożenie macierzy z tym wektorem i utworzenie z tego równań, ale nic z tego nie wynika bo mam 2 równania, a 3 niewiadome.
Wybierz prawidłowe rozwiązanie kompletne układu równań \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 1&2 \\ 2&2&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\ 6 \end{bmatrix}}\)
a)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\ 1\\2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\\ 0\\1 \end{bmatrix}x_3}\)

b)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\ 0\\1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\ 1\\0 \end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}-2\\ 0\\1 \end{bmatrix}x_3}\)

c)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\ 0\\1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\\ 0\\1 \end{bmatrix}x_3}\)

Dodano po 30 sekundach:
Dodam, że prawidłową odpowiedzią jest podpunkt \(\displaystyle{ b}\), ale nie wiem jak do tego dojść.

[Jan Kraszewski]

Moim pomysłem było pomnożenie macierzy z tym wektorem i utworzenie z tego równań,

To dobry pomysł.

ale nic z tego nie wynika bo mam 2 równania, a 3 niewiadome.

Nie, masz tak naprawdę jedno równanie i 3 niewiadome (bo drugie równanie to pierwsze równanie pomnożone przez \(\displaystyle{ 2}\)). No ale nic w tym złego - zbiorem rozwiązań tego równania będzie płaszczyzna \(\displaystyle{ x+y+2z-3=0}\), której równanie parametryczne masz właśnie w b).

JK

[humus]

Dzięki, ale wciąż nie rozumiem co mam zrobić dalej po otrzymaniu:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+2x_3=3}\)

lub
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix}=[3]}\)

Jak przejść do tej odpowiedzi z podpunktu \(\displaystyle{ b)}\)?

[a4karo]

A wiesz jak się rozwiązuje układy równań liniowych?

[humus]

A wiesz jak się rozwiązuje układy równań liniowych?

Poprzez podstawienie, ale i tak źle wychodzi.

Więc mogę to wyrazić tak:
\(\displaystyle{ x_1=3-x_2-2x_3 \\ x_2=3-x_1-2x_3 \\ x_3=\frac{3}{2}-\frac{x_1}{2}-\frac{x_2}{2}}\)

Czyli powinno wyjść:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\ 3\\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ -1\\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}x_1+\begin{bmatrix}-1\\ 0\\-\frac{1}{2} \end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}-2\\ -2\\0 \end{bmatrix}x_3}\)

Dodano po 22 minutach 39 sekundach:
Chociaż jak patrzę na inne przykłady to chyba muszę wyznaczyć zmienne swobodne, a reszcie przypisać "1" czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ x_1=3-x_2-2x_3}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\ 1\\0 \end{bmatrix}x_2+\begin{bmatrix}-2\\ 0\\1 \end{bmatrix}x_3}\)

Dodano po 30 sekundach:
Ale to wciąż nie jest ten sam wynik:/

[a4karo]

Bez sensu trochę.
Skoro `x_1+x_2+2x_3=3`, to `x_1=3-x_2-2x_3` i `x_2` oraz `x_3` mogą być dowolne. Stąd wiesz, że przestrzeń rozwiązań jest generowana przez dwa parametry

[humus]

No ok. A dlaczego ten pierwszy wektor wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\ 0\\1 \end{bmatrix}}\)

Dodano po 11 sekundach:
Bo nie widzę w tym żadnego sensu

[a4karo]

Błędy się zdarzają. Powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3\\ 0\\0 \end{bmatrix}}\)

[humus]

No i elegancko, w takim razie rozumiem. Dzięki za pomoc.