Z tw. spektralnego wiemy, że jeśli macierz jest symetryczna, to diagonalizuje się w bazie ortonormalnej. A co możemy powiedzieć "w druga stronę" - o macierzy, która diagonalizuje się w bazie ortonormalnej? Jakie cechy ma taka macierz?
Z góry dziękuję bardzo za pomoc!
Jakie cechy ma macierz, która diagonalizuje się w bazie ortonormalnej?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Jakie cechy ma macierz, która diagonalizuje się w bazie ortonormalnej?
Jest symetryczna.
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ A = PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest diagonalna a \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą izometrii (czyli taką, której kolumy tworzą bazę ortonormalną), to \(\displaystyle{ P^{-1} = P^{\top}}\) i stąd
\(\displaystyle{ A^{\top} = (PDP^{\top})^{\top} = ( P^{\top} )^{\top} D^{\top} P^{\top} = P D P^{\top} = A}\)
czyli \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna.
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ A = PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest diagonalna a \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą izometrii (czyli taką, której kolumy tworzą bazę ortonormalną), to \(\displaystyle{ P^{-1} = P^{\top}}\) i stąd
\(\displaystyle{ A^{\top} = (PDP^{\top})^{\top} = ( P^{\top} )^{\top} D^{\top} P^{\top} = P D P^{\top} = A}\)
czyli \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 8 lut 2022, o 12:54
- Płeć: Kobieta
- wiek: 23
- Podziękował: 6 razy
Re: Jakie cechy ma macierz, która diagonalizuje się w bazie ortonormalnej?
Dziękuję bardzo za pomoc!