Proszę o pomoc
Dodano po 9 minutach 57 sekundach:
Re: Rozwiązanie układu równań
Mało z tego rozumiem, lepiej proszę o rozwiązanie jeżeli to możliwe
Rozwiązanie układu równań
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozwiązanie układu równań
Proszę nie podpinać się do cudzych postów.
Proszę podawać treści swoich zadań w oddzielnych postach.
\(\displaystyle{ (1) }\)
Tworzymy macierz rozszerzoną układu.
\(\displaystyle{ (2) }\)
Metodą przekształceń elementarnych Gaussa-Jordana sprowadzamy układ do zredukowanej postaci schodkowej.
\(\displaystyle{ (3) }\)
Ze zredukowanej postaci schodkowej odczytujemy rozwiązanie układu równań.
\(\displaystyle{ (4) }\)
Znajdujemy dwa inne rozwiązania bazowe, o ile istnieją.
Proszę podawać treści swoich zadań w oddzielnych postach.
\(\displaystyle{ (1) }\)
Tworzymy macierz rozszerzoną układu.
\(\displaystyle{ (2) }\)
Metodą przekształceń elementarnych Gaussa-Jordana sprowadzamy układ do zredukowanej postaci schodkowej.
\(\displaystyle{ (3) }\)
Ze zredukowanej postaci schodkowej odczytujemy rozwiązanie układu równań.
\(\displaystyle{ (4) }\)
Znajdujemy dwa inne rozwiązania bazowe, o ile istnieją.
Ostatnio zmieniony 1 lut 2022, o 13:14 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Kali3tte
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 1 lut 2022, o 11:43
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Rozwiązanie układu równań
Jestem pierwszy raz na stronie (świeżak) i nie wiedziałam że coś robię źle. Potrzebuje całego rozwiązania bo nic nie czaje. Ale dzięki mimo to za dobre chęci 
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozwiązanie układu równań
5.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=5\\ 5x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+2x_{4}=1 \ \ (1) \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right] \ \ (2)}\)
Do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ -5}\)
\(\displaystyle{ (w_{2}-5\cdot w_{1}) }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&-6&-12&-18&-24\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right]}\)
Do wiersza trzeciego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ (w_{2}-1\cdot w_{1}) }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&-6&-12&-18&-24\\0&-1&-2&-3&-4\end{matrix}\right]}\)
Wiersz drugi mnożymy przez liczbę latex] -\frac{1}{6} [/latex]
\(\displaystyle{ \left(w_{2}\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4\\0&-1&-2&-3&-4\end{matrix}\right]}\)
Do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi
\(\displaystyle{ (w_{3}+w_{2}) }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right].}\)
Odrzucamy wiersz trzeci
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4 \end{matrix}\right]}\)
Trzecią i czwartą kolumnę liczb "przenosimy" ze znakiem przeciwnym na prawą stronę
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&5&-3&-4\\0&1&4&-2&-3\end{matrix}\right]}\)
Do wiersza pierwszego dodajemy wiersz drugi pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ (-2) }\)
\(\displaystyle{ w_{1}+(-2)\cdot w_{2} }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&0&-3&1&2\\0&1&4&-2&-3\end{matrix}\right]}\)
Z ostatniej tablicy odczytujemy, że układ równań \(\displaystyle{ (1) }\) jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Istnieją więc rozwiązania bazowe tego układu.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-3+t+2u\\4-2t-3u\\t\\ u\\ \end{matrix}\right]_{t, u \in \RR} \ \ (3) }\)
Znajdujemy dwa inne rozwiązania bazowe, aby je otrzymać nie musimy przekształcać pnownie macierzy \(\displaystyle{ (2). }\)
Wykorzystamy postać ogólną równania \(\displaystyle{ (3) }\)
W rozwiązaniu tym zmiennymi niebazowymi są \(\displaystyle{ x_{3}=t, x_{4} =u. }\)
Przyjmując \(\displaystyle{ t=0, \ \ u = 0 }\) otrzymamy rozwiązanie bazowe względem zmiennych \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} }\)
\(\displaystyle{ \vec{x}_{B_{1}} = \left[\begin{matrix}-3\\4\\0\\0\end{matrix}\right].}\)
Aby otrzymać rozwiązanie bazowe względem zmiennych na przykład \(\displaystyle{ x_{2}, x_{3} }\) należy e rozwiązaniu ogólnym \(\displaystyle{ (3) }\)
przyjąć
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = -3 +t +2u = 0 \\ x_{4} = u = 0 \end{cases} }\)
Mamy wtedy \(\displaystyle{ x_{3} = t = 3 }\) i \(\displaystyle{ x_{2} = 4-2\cdot (-3)= -2 }\)
Drugim rozwiązaniem bazowym jest wektor
\(\displaystyle{ \vec{x}_{B_{2}} = \left[\begin{matrix}0\\-2\\3\\0\end{matrix}\right].}\)
Rozwiązań bazowych układ ma tyle, ile jest jego postaci bazowych. Liczba ta (oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ s }\)) zależy od liczby niewiadomych w układzie równań oraz od rzędu macierzy głównej układu.
Liczba \(\displaystyle{ s }\) spełnia warunek \(\displaystyle{ s \leq {n\choose r} }\) gdzie \(\displaystyle{ n }\) jest liczbą niewiadomych , \(\displaystyle{ r }\) rzędem macierzy układu.
W naszym przypadku \(\displaystyle{ s \leq {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = 6.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=5\\ 5x_{1}+4x_{2}+3x_{3}+2x_{4}=1 \ \ (1) \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right] \ \ (2)}\)
Do wiersza drugiego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ -5}\)
\(\displaystyle{ (w_{2}-5\cdot w_{1}) }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&-6&-12&-18&-24\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right]}\)
Do wiersza trzeciego dodajemy wiersz pierwszy pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ (w_{2}-1\cdot w_{1}) }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&-6&-12&-18&-24\\0&-1&-2&-3&-4\end{matrix}\right]}\)
Wiersz drugi mnożymy przez liczbę latex] -\frac{1}{6} [/latex]
\(\displaystyle{ \left(w_{2}\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4\\0&-1&-2&-3&-4\end{matrix}\right]}\)
Do wiersza trzeciego dodajemy wiersz drugi
\(\displaystyle{ (w_{3}+w_{2}) }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right].}\)
Odrzucamy wiersz trzeci
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&4 \end{matrix}\right]}\)
Trzecią i czwartą kolumnę liczb "przenosimy" ze znakiem przeciwnym na prawą stronę
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&2&5&-3&-4\\0&1&4&-2&-3\end{matrix}\right]}\)
Do wiersza pierwszego dodajemy wiersz drugi pomnożony przez liczbę \(\displaystyle{ (-2) }\)
\(\displaystyle{ w_{1}+(-2)\cdot w_{2} }\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&0&-3&1&2\\0&1&4&-2&-3\end{matrix}\right]}\)
Z ostatniej tablicy odczytujemy, że układ równań \(\displaystyle{ (1) }\) jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów. Istnieją więc rozwiązania bazowe tego układu.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-3+t+2u\\4-2t-3u\\t\\ u\\ \end{matrix}\right]_{t, u \in \RR} \ \ (3) }\)
Znajdujemy dwa inne rozwiązania bazowe, aby je otrzymać nie musimy przekształcać pnownie macierzy \(\displaystyle{ (2). }\)
Wykorzystamy postać ogólną równania \(\displaystyle{ (3) }\)
W rozwiązaniu tym zmiennymi niebazowymi są \(\displaystyle{ x_{3}=t, x_{4} =u. }\)
Przyjmując \(\displaystyle{ t=0, \ \ u = 0 }\) otrzymamy rozwiązanie bazowe względem zmiennych \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} }\)
\(\displaystyle{ \vec{x}_{B_{1}} = \left[\begin{matrix}-3\\4\\0\\0\end{matrix}\right].}\)
Aby otrzymać rozwiązanie bazowe względem zmiennych na przykład \(\displaystyle{ x_{2}, x_{3} }\) należy e rozwiązaniu ogólnym \(\displaystyle{ (3) }\)
przyjąć
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = -3 +t +2u = 0 \\ x_{4} = u = 0 \end{cases} }\)
Mamy wtedy \(\displaystyle{ x_{3} = t = 3 }\) i \(\displaystyle{ x_{2} = 4-2\cdot (-3)= -2 }\)
Drugim rozwiązaniem bazowym jest wektor
\(\displaystyle{ \vec{x}_{B_{2}} = \left[\begin{matrix}0\\-2\\3\\0\end{matrix}\right].}\)
Rozwiązań bazowych układ ma tyle, ile jest jego postaci bazowych. Liczba ta (oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ s }\)) zależy od liczby niewiadomych w układzie równań oraz od rzędu macierzy głównej układu.
Liczba \(\displaystyle{ s }\) spełnia warunek \(\displaystyle{ s \leq {n\choose r} }\) gdzie \(\displaystyle{ n }\) jest liczbą niewiadomych , \(\displaystyle{ r }\) rzędem macierzy układu.
W naszym przypadku \(\displaystyle{ s \leq {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = 6.}\)