Jądro przestrzeni dualnej

[kt26420]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru \(\displaystyle{ n \ge 1.}\) Czy każda podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ Y}\) przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) taka, że \(\displaystyle{ \dim(Y ) = n − 1}\) jest jądrem pewnego funkcjonału liniowego z \(\displaystyle{ X^{∗}}\)?

Proszę o jakąś wskazówkę, jak za to zabrać?

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ X^{*} = L(X, K). }\)

Zauważmy, że dla każdej podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y }\) przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{x} \in X\setminus Y }\), istnieje funkcjonał \(\displaystyle{ \varphi \in X \setminus Y }\) taki, że \(\displaystyle{ \varphi(Y))=\{0\} }\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(\vec{x})= 1,}\) przy czym \(\displaystyle{ codim (X\setminus Y) = n - n+1 =1.}\)

Żeby to udowodnić wystarczy uzupełnić bazę przestrzeni \(\displaystyle{ Y }\) do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ X }\), tak żeby w uzupełnieniu znalazł się wektor \(\displaystyle{ \vec{x} }\) i odpowiednio zdefiniować wartości funkcjonału na tej bazie.

Na przykład, jeśli \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}^3 }\) i \(\displaystyle{ Y =\text{lin}((1,1,0),(0,0,1)) }\) oraz \(\displaystyle{ \vec{x}=[1,-1,0].}\)

Wtedy funkcjonał \(\displaystyle{ \varphi,}\) aby spełniał powyżej opisane warunki, musi spełniać równania: \(\displaystyle{ \varphi((1,1,0))=0, \varphi((0,0,1))=0 ,(czyli \ \ \varphi \in ker(Y) }\) oraz \(\displaystyle{ \varphi((1,-1,0)) = 1 }\). Można sprawdzić, że funkcjonał \(\displaystyle{ \varphi((x,y,z))= x/2- y/2.}\)