Ilość rozwiązań układu w zależności od parametru - czy dobrze to obliczyłam?

[Lullaby0]

Polecenie zadania brzmi następująco: W zależności od parametru \(\displaystyle{ λ}\) określ ilość rozwiązań układu:
\begin{cases}λx + λy + λz = 0 \\ 2λx + (3λ-1)y + (4λ-3)z = 2 \\ 3λx + (4λ-1)y + (6λ-5)z = 4 \end{cases}

Zapisałam sobie to w formie macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}λ&λ&λ&0\\2λ&3λ-1&4λ-3&2\\3λ&4λ-1&6λ-5&4\end{array}\right]}\)

i przerobiłam na macierz trójkątną:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}λ&λ&λ&0\\0&λ-1&2λ-3&2\\0&0&λ-2&2\end{array}\right]}\)

wyszło mi, że \(\displaystyle{ λ = 4}\)
i dla \(\displaystyle{ λ = 4}\) mamy tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=0, y=-1, z=1}\)

Czy popełniłam tu gdzieś błąd w obliczeniach, jeżeli tak to gdzie?

[kerajs]

Moim zdaniem wyznacznik z macierzy głównej to: \(\displaystyle{ \lambda (\lambda-1)(\lambda-2)}\) więc układ ma jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ \lambda \in \RR \setminus \left\{ 0,1,2\right\} }\) .
Pozostaje sprawdzić rozwiązywalność układu dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\) (nieskończenie wiele rozwiązań) , dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) (nieskończenie wiele rozwiązań) oraz dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) (brak rozwiązań).

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} λx + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ λy + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ λz = 0 \\ 2λx + (3λ-1)y + (4λ-3)z = 2 \\ 3λx + (4λ-1)y + (6λ - 5)z = 4. \end{cases} }\)

Wyznacznik macierzy układu:

\(\displaystyle{ |A| = \lambda (\lambda-1)(\lambda - 2) }\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda \neq 1 }\) i \(\displaystyle{ \lambda \neq 2 }\) - układ jest układem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie

\(\displaystyle{ x = \frac{D_{1}}{|A|} = \frac{-4(2\lambda -1)}{(\lambda -1)(\lambda -2)}, }\)

\(\displaystyle{ y = \frac{D_{2}}{|A|} = \frac{-2(\lambda -1)}{(\lambda -1)(\lambda -2)}, }\)

\(\displaystyle{ z = \frac{D_{3}}{|A|} = \frac{2 (\lambda -1)}{(\lambda -1)(\lambda -2)}. }\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda= 1 }\) otrzymujemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + \ \ y + \ \ z = 0 \\ 2x +2y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + z = 4, \end{cases} }\)

który ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony) - zależnych od jednego parametru

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 2-t \\ t\\ -2 \end{matrix} \right), \ \ t\in \RR }\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 2 }\) otrzymujemy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + \ \ 2y + \ \ 2z = 0 \\ 4x +5y + 5z = 2 \\ 6x + 7y + 7z = 4, \end{cases} }\)

który jest układem sprzecznym.

[a4karo]

Gdzieś zgubiłeś `\lambda=0`

[Jan Kraszewski]

Wyznacznik macierzy układu:

\(\displaystyle{ |A| = \lambda (\lambda-1)(\lambda - 2) }\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda \neq 1 }\) i \(\displaystyle{ \lambda \neq 2 }\) - układ jest układem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie

Dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\) też?!

\(\displaystyle{ x = \frac{D_{1}}{|A|} = \frac{-4(2\lambda -1)}{(\lambda -1)(\lambda -2)}, }\)

\(\displaystyle{ y = \frac{D_{2}}{|A|} = \frac{-2(\lambda -1)}{(\lambda -1)(\lambda -2)}, }\)

\(\displaystyle{ z = \frac{D_{3}}{|A|} = \frac{2 (\lambda -1)}{(\lambda -1)(\lambda -2)}. }\)

Tu Ci też rachunki nie wyszły.

JK

[janusz47]

Dzięki, że zwróciłeś uwagę na \(\displaystyle{ \lambda. }\)

Odpowiedź dla \(\displaystyle{ \lambda = 0 }\) układ jest nieoznaczony - posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru:

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} u \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\right), \ \ u\in \RR. }\)

[Jan Kraszewski]

Ale w przypadku oznaczonym też masz błędy. Np. \(\displaystyle{ D_1=0.}\)

JK

[Lullaby0]

Czyli moje obliczenia są błędne czy niekompletne?
W sensie, wy podaliście rozwiązania dla \(\displaystyle{ λ = 0,1,2}\) a ja dla \(\displaystyle{ λ=4}\)
To błąd czy jedno z możliwych rozwiązań?
Zamieniając wszystkie \(\displaystyle{ λ}\) na cztery i wpisując macierz do kalkulatora wychodzą mi wyniki dla x,y,z takie same jakie obliczyłam.

[Jan Kraszewski]

Czy rozumiesz, co oznacza polecenie "W zależności od parametru \(\displaystyle{ λ}\) określ ilość rozwiązań układu"?

Czy rozumiesz, co napisał kerajs?

Moim zdaniem wyznacznik z macierzy głównej to: \(\displaystyle{ \lambda (\lambda-1)(\lambda-2)}\) więc układ ma jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ \lambda \in \RR \setminus \left\{ 0,1,2\right\} }\) .
Pozostaje sprawdzić rozwiązywalność układu dla \(\displaystyle{ \lambda=0}\) (nieskończenie wiele rozwiązań) , dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) (nieskończenie wiele rozwiązań) oraz dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) (brak rozwiązań).

Twoja odpowiedź, jakkolwiek prawdziwa, jest dalece niewystarczająca.

JK

[Lullaby0]

Rozumiem, w takim razie dziękuję bardzo

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} λx + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ λy + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ λz = 0 \\ 2λx + (3λ-1)y + (4λ-3)z = 2 \\ 3λx + (4λ-1)y + (6λ - 5)z = 4. \end{cases} }\)

Wyznacznik macierzy układu

\(\displaystyle{ |A| = \left| \begin{matrix} \lambda & \lambda & \lambda \\ 2\lambda & 3\lambda -1 & 4\lambda -3 \\ 3\lambda & 4\lambda -1 & 6\lambda -5 \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} \lambda & \lambda & \lambda \\ 0 & \lambda -1 & 2\lambda -3 \\ 0 & \lambda -1 & 3\lambda -5 \end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} \lambda & \lambda & \lambda \\ 0 & \lambda -1 & 2\lambda -3 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{matrix}\right| =\lambda(\lambda -1)(\lambda -2). }\)

Jeśli \(\displaystyle{ \lambda \neq 0 }\) i \(\displaystyle{ \lambda \neq 1 }\) i [\(\displaystyle{ \lambda \neq 2 }\) to układ równań jest układem Cramera i ma dokładnie jedno rozwiązanie czyli jest oznaczony.

Obliczamy wyznaczniki

\(\displaystyle{ D_{1} = \left| \begin{matrix} 0 & \lambda & \lambda \\ 2 & 3\lambda -1 & 4\lambda -3 \\ 4 & 4\lambda -1 & 6\lambda -5 \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} 0 & \lambda & \lambda \\ 2 & 3\lambda -1 & 4\lambda -3 \\ 0 & -2\lambda +1 & -2\lambda +1 \end{matrix}\right|= -2\left| \begin{matrix} \lambda & \lambda \\ -2\lambda+1 & -2\lambda+1 \end{matrix}\right| = 0, }\)

\(\displaystyle{ D_{2} =\left| \begin{matrix} \lambda & 0 & \lambda \\ 2\lambda & 2 & 4\lambda -3 \\ 3\lambda & 4 & 6\lambda -5 \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} \lambda & 0 & \lambda \\ 0 & 2 & 2\lambda -3 \\ 0 & 4 & 3\lambda -5 \end{matrix}\right|==\left| \begin{matrix} \lambda & 0 & \lambda \\ 0 & 2 & 2\lambda -3 \\ 0 & 0 & -\lambda +1 \end{matrix}\right|= -2\lambda(\lambda -1), }\)

\(\displaystyle{ D_{3} =\left|\begin{matrix} \lambda & \lambda & 0 \\ 2\lambda & 3\lambda -1 & 2 \\ 3\lambda & 4\lambda -1 & 4 \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} \lambda & \lambda & 0 \\ 0 & \lambda -1 & 2 \\ 0 & \lambda -1 & 4 \end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} \lambda & \lambda & 0 \\ 0 & \lambda -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right| = 2\lambda (\lambda -1). }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{D_{1}}{|A|} =\frac{0}{\lambda(\lambda -1)(\lambda -2)} = \ \ \ \ 0 \\ y = \frac{D_{2}}{|A|}= \frac{-2\lambda (\lambda-1)}{\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)} =-\frac{2}{\lambda-2} \\ z = \frac{D_{3}}{|A|} = \frac{2\lambda(\lambda-1)}{\lambda (\lambda-1)(\lambda -2)} = \frac{2}{\lambda-2}. \end{cases} }\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 0 }\) otrzymujemy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0x + 0y + 0z = 0 \\ 0x -y -3z = 2 \\ 0x - y -5z = 4, \end{cases} }\)

który ma niesończenie rozwiązań zależnych od wartości parametru

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} u \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right), \ \ u\in \RR.}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda =1 }\) otrzymujemy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + \ \ y + \ \ z = 0 \\ 2x +2y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + z = 4, \end{cases} }\)

który ma mieskończenie wiele rozwiązań zależnych od wartości parametru

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 2-t \\ t\\ -2 \end{matrix} \right), \ \ t\in \RR.}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 2 }\) dostajemy układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + 2y + 2z = 0 \\ 4x +5y + 5z = 2 \\ 6x + 7y + 7z = 4, \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 0x +1y +1z =2 \\ 0x +0y +0z = 2, \end{cases} }\)

który jest sprzeczny.


Odpowiedź

Dla \(\displaystyle{ \lambda = 0 }\) i \(\displaystyle{ \lambda =1 }\) układ jest nieoznaczony - ma niekończenie wiele rozwiązań, dla \(\displaystyle{ \lambda = 2 }\) układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.
Dla \(\displaystyle{ \lambda \neq 0 }\) i \(\displaystyle{ \lambda \neq 1 }\) i \(\displaystyle{ \lambda \neq 2 }\) - układ jest oznaczony - ma dokładnie jedno rozwiązanie.