Układ sprzeczny lub nieoznaczony

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
materla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 9 sty 2022, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Układ sprzeczny lub nieoznaczony

Post autor: materla » 16 sty 2022, o 02:53

Wykazać, że układ równań, w którym liczba niewiadomych n jest większa od liczby równań m, albo jest sprzeczny, albo ma więcej niż jedno rozwiązanie.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 08:32 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stostuj długich nazw tematów.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7097
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Układ sprzeczny lub nieoznaczony

Post autor: janusz47 » 17 sty 2022, o 20:02

Mamy do rozwiązania układ równań liniowych

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ ...+a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ ............................... \ \ (1) \\ a_{m1}x_{1}+ a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases} }\)

w którym \(\displaystyle{ m< n. }\)

Metodą przekszałceń elementarnych sprowadzamy układ \(\displaystyle{ (1) }\) do postaci :

\(\displaystyle{ \begin{cases} \overline{a}_{1p} x_{p} + ............. +\overline{a}_{1n}x_{n} = \overline{b}_{1}\\ \ \ \ \ \ \ \overline{a}_{2k}x_{k}+.........+\overline{a}_{2n}x_{n} = \overline{b}_{2} \\ ................................. \ \ (2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overline{a}_{rs}x_{s} +....+ \overline{a}_{rn}x_{n} = \overline{b}_{r} \\ ................................\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 =\overline{b}_{r+1} \\ ..................................\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 = \overline{b}_{m} \end{cases} }\)

Może się zdarzyć, że w układzie \(\displaystyle{ (2) \ \ r = m, }\) wtedy mówimy, że układ ma postać schodkową.

Każdy układ liniowy jest równoważny pewnemu układowi w postaci schodkowej.

Zacznijmy od problemu sprzeczności układu.

Jeśli układ \(\displaystyle{ (2) }\) zawiera równanie \(\displaystyle{ 0 = \overline{b}_{t} }\) i \(\displaystyle{ b_{t} \neq 0 }\) to jest sprzeczny, bo równość \(\displaystyle{ 0 = \vec{b}_{t} }\) nie zachodzi przy żadnych wartościach niewiadomych.

Niesprzeczny układ \(\displaystyle{ (1) }\) z \(\displaystyle{ n > m }\) jest zawsze nieoznaczony. W szczególności układ jednorodny \(\displaystyle{ ( z \ \ b_{i} = 0, \ \ i = 1,2,...,m ) }\) z \(\displaystyle{ n> m }\) ma zawsze rozwiązanie niezerowe.

Istotnie, zawsze mamy \(\displaystyle{ r \leq m, }\) bo liczba równań w układzie \(\displaystyle{ (2) }\) nie przewyższa ich liczby w układzie \(\displaystyle{ (1) }\) (równania z obiema stronami równymi zeru usuwamy). Wobec tego nierówność \(\displaystyle{ n > m }\) pociąga za sobą \(\displaystyle{ n > r,}\) a stąd z kolei wynika nieoznaczoność układu \(\displaystyle{ (2) }\) twierdzenia:

" niesprzeczny układ \(\displaystyle{ (1) }\) jest oznaczony wtedy i tylko wtedy, gdy po sprowadzeniu do postaci schodkowej zachodzi równość \(\displaystyle{ r = n".}\)

Dodano po 31 minutach 33 sekundach:
To stwierdzenie o rozwiązaniach układu równań liniowych z \(\displaystyle{ n > m}\) można wykazać w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Cappelliego, wprowadzjąc pojęcie rzędu macierzy i macierzy rozszerzonej.

ODPOWIEDZ