Macierze, proszę o pomoc

[zofia48]

Zadanie 1
Dana jest macierz kwadratowa A, taka że \(\displaystyle{ A^{2} }\) jest macierzą zerową. Wyjaśnić dlaczego macierz A nie jest odwracalna.
Czy w tym zadaniu wystarczy wyjaśnienie, że tylko mnożąc daną macierz przez macierz zerową otrzymamy macierz zerową? Z czego wynika, że A musi być zerowa, zatem jej wyznacznik jest równy zero - nie jest odwracalna.

Zadanie 2
Niech A będzie macierzą kwadratową, taką, że \(\displaystyle{ \left| A ^{k} \right| =1 }\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k \in \NN}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \left| A ^{2} \right| =1 }\). Czy moje myślenie jest prawidłowe?
\(\displaystyle{ \left| A ^{k} \right| = (\left| A \right|) ^{k} =1 }\) skoro k jest naturalne (nie może być równe 0) to tylko 1 podniesione do jakieś potęgi k może być równe 1. Zatem wyznacznik A musi być równy 1, dlatego \(\displaystyle{ \left| A ^{2} \right| =1 }\)

[arek1357]

Jak jest odwracalna to istnieje taka macierz B, że:

\(\displaystyle{ AB=I }\)

\(\displaystyle{ BA=I}\)

wiec:

\(\displaystyle{ BAAB=BA^2B=B0B=0=I^2=I}\)

I co dalej...

[Jan Kraszewski]

Czy w tym zadaniu wystarczy wyjaśnienie, że tylko mnożąc daną macierz przez macierz zerową otrzymamy macierz zerową?

To nieprawda:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}.}\)

to tylko 1 podniesione do jakieś potęgi k może być równe 1.

Serio? A co z \(\displaystyle{ (-1)^2=1}\) ?

JK

[zofia48]

Czy w tym zadaniu wystarczy wyjaśnienie, że tylko mnożąc daną macierz przez macierz zerową otrzymamy macierz zerową?

To nieprawda:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}.}\)

to tylko 1 podniesione do jakieś potęgi k może być równe 1.

Serio? A co z \(\displaystyle{ (-1)^2=1}\) ?

JK

Dziękuję za odpowiedź.
Ma Pan racje, czyli w tym zadaniu wystarczy uwzględnić te dwa przypadki z 1 oraz (-1)?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK