Iloczyn skalarne (łatwe)

[Niepokonana]

Dzień dobry

Proszę o wyjaśnienie, bo już się pogubiłam z tymi iloczynami skalarnymi. Jak to jest? Weźmy \(\displaystyle{ x,y,}\) które są wektorami w jakiejś podprzestrzeni/przestrzeni (czym to się różni) liniowej. \(\displaystyle{ <-x|y>}\) to \(\displaystyle{ -<x|y>}\) czy \(\displaystyle{ <x|y>}\). Jak to jest z dodawaniem wektorów w mnożeniu skalarnym? Czy \(\displaystyle{ <5x-3y|y>=<5x|y>+<-3y|y>}\)?

[Tmkk]

Iloczyn skalarny to forma dwuliniowa, co w kontekście Twoich pytań oznacza, że jest liniowy ze względu na każdą współrzędną. Czy jeśli sobie napiszę \(\displaystyle{ f(x,y) = \langle x, y\rangle}\) to zachodzi \(\displaystyle{ f(cx_1+x_2,y) = cf(x_1,y) + f(x_2,y)}\) i tak samo na drugiej współrzędnej: \(\displaystyle{ f(x,cy_1+y_2) = cf(x,y_1) + f(x,y_2)}\), gdzie iksy i igreki to wektory, a \(\displaystyle{ c}\) to skalar. Zobacz, że to jest najzwyklejsza liniowość, jaką pewnie poznałaś na początku kursu algebry liniowej, tylko teraz patrzymy na każdą współrzędną oddzielnie.

Dla \(\displaystyle{ c=-1}\) masz z liniowości na pierwszej wspołrzędnej: \(\displaystyle{ f(-x,y) = -f(x,y)}\), czyli pierwsza opcja

A w drugim przypadku, znowu patrząc na pierwszą wspołrzedną: \(\displaystyle{ f(5x-3y,y) = f(5x,y) + f(-3y,y) }\), więc dobrze napisałaś. Można to jeszcze bardziej uprościć do postaci \(\displaystyle{ 5f(x,y) - 3f(y,y)}\).

[Niepokonana]

Aaa ok dziękuję bardzo, ale nie pisze się \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle }\) tylko \(\displaystyle{ \left\langle x|y\right\rangle }\) nie wiem dlaczego. Tak tylko się czepiam.

[Jan Kraszewski]

nie pisze się \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle }\) tylko \(\displaystyle{ \left\langle x|y\right\rangle }\) nie wiem dlaczego.

Można pisać i tak i tak.

JK

[a4karo]

A nawet tak `(x,y), x\circ y, x\cdot y` .