Założenia w wektorach.

[gr4vity]

Na innym forum się nie udało więc może tutaj spróbuję , męczy mnie ta sprawa już od dłuższego czasu...

Załóżmy, że w danej macierzy wychodzi nam wartość własna rzędu trzeciego.
Załóżmy, że wektor główny rzędu pierwszego wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}t \\ 0\\t\end{bmatrix}}\)
Teraz tworząc wektor główny rzędu drugiego musimy założyć, że: \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R} \setminus \left\{0 \right\} }\)

Załóżmy, że wektor główny rzędu drugiego wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}s+t \\ s\\t\end{bmatrix}}\)

I moje pytanie - chcąc stworzyć z tego (wektora głównego rzędu drugiego) wektor główny rzędu trzeciego jak powinny wyglądać założenia?:
OPCJA 1: \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R} \setminus \left\{0 \right\}}\)
OPCJA 2: \(\displaystyle{ (s \wedge t) \neq 0}\)
OPCJA 3: \(\displaystyle{ (s \vee t) \neq 0}\)

Skąd to pytanie? Wiem, że wektor nie może być wektorem zerowym, ale zastanawia mnie czy założenia z poprzednich etapów tworzenia wektorów głównych się "zapisują" czy są one niezależne od siebie i dla każdego wektora tworzymy nowe założenia aby nie był on zerowy.

Na ćwiczeniach spotkałem się z twierdzeniem, że : 1) Założenia się "zapisują" czyli dla każdej kolejnej macierzy głównej wyższego rzędu obowiązują założenia z niższych. 2) OPCJA 2 jest poprawną opcją. Jest to dla mnie trochę niespójne, przecież skoro założenia się zapisują a w pierwszym rzędzie założyliśmy, że \(\displaystyle{ t \neq 0}\) to po co zakładać, że \(\displaystyle{ (t \wedge s) \neq 0}\)?

Z góry bardzo dziękuję za poświęcony czas

[Jan Kraszewski]

OPCJA 2: \(\displaystyle{ (s \wedge t) \neq 0}\)
OPCJA 3: \(\displaystyle{ (s \vee t) \neq 0}\)

Abstrahując od meritum pytania, ten zapis wygląda paskudnie (i jest niepoprawny). A można normalnie:

OPCJA 2: \(\displaystyle{ s \neq 0\land t\ne 0}\)
OPCJA 3: \(\displaystyle{ s \neq 0\lor t\ne 0.}\)

JK

[Dasio11]

Szczerze mówiąc, nie mam pojęcia o co próbujesz zapytać. Wygląda to jakbyś miał wątpliwości do jakiegoś konkretnego sposobu wyznaczania wektorów głównych. Ale takich sposobów jest mnóstwo i można je opisywać używając przeróżnych terminów i oznaczeń, więc swoje pytanie powinieneś zacząć od dokładnego przedstawienia procedury, do której się odwołujesz. Inaczej jest niewielka szansa, że ktoś będzie w stanie Ci pomóc.

[gr4vity]

Ale takich sposobów jest mnóstwo i można je opisywać używając przeróżnych terminów i oznaczeń, więc swoje pytanie powinieneś zacząć od dokładnego przedstawienia procedury, do której się odwołujesz. Inaczej jest niewielka szansa, że ktoś będzie w stanie Ci pomóc.

Rzeczywiście, powinienem najpierw opisać ten sposób. Przejdę przez niego tak jak robiliśmy to na ćwiczeniach a następnie zadam pytanie.
Mamy taką macierz i mam obliczyć jej wektory główne.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 2&1 \\ 0&2&0\\1&0&1 \end{bmatrix}}\)
Wielomianem charakterystycznym tej macierzy jest: \(\displaystyle{ P(\lambda)=(2-\lambda)((1-\lambda)^{2}-1)}\)
Wartości własne to: \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\) (drugiego rzędu) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{2}=0}\) (pierwszego rzędu).
W ten sposób wyznaczaliśmy wektor główny rzędu pierwszego dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1& 2&1 \\ 0&0&0\\1&0&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x \\ y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0\\0\end{bmatrix}}\)
Gdzie wektorem szukanym jest wektor \(\displaystyle{ (x,y,z)}\). Rozwiązując układ równań i robiąc podstawienie: \(\displaystyle{ x=t \wedge t \in \mathbb{R}}\) otrzymujemy taki wektor: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}t \\0\\t\end{bmatrix}}\)
I teraz chcąc znaleźć dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\) wektor główny rzędu drugiego należy ułożyć takie równanie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1& 2&1 \\ 0&0&0\\1&0&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x \\ y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t \\ 0\\t\end{bmatrix}}\) Przy czym na tym etapie zakładamy, że \(\displaystyle{ t \neq 0}\)
Rozwiązując ten układ równań i robiąc podstawienie \(\displaystyle{ z=s \wedge s \in \mathbb{R}}\) otrzymujemy taki wektor:\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}s+t\\ t\\s\end{bmatrix}}\)
I teraz pierwsze pytanie - jakie założenia obowiązują ten wektor główny rzędu drugiego? \(\displaystyle{ s \in \mathbb{R} \wedge t \neq 0? }\)
I teraz drugie pytanie, gdyby wartość własna \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\) była rzędu trzeciego i w ten sam sposób chciałbym znaleźć wektor główny rzędu trzeciego dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2}\)
To układając ponownie układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1& 2&1 \\ 0&0&0\\1&0&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x \\ y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s+t \\ t\\s\end{bmatrix}}\)
Jakie założenia ustalamy dla wektora z prawej strony? Czy obowiązują ten wektor założenia wcześniejsze tzn. \(\displaystyle{ t \neq 0}\)?
Na ćwiczeniach ustalono założenia, że \(\displaystyle{ t \neq 0 \wedge s \neq 0}\) oraz, ustalono, że założenia z poprzednich rzędów się przekładają (tzn. jeżeli przy tworzeniu wektora głównego rzędu drugiego założyliśmy, że \(\displaystyle{ t \neq 0}\) to to założenie jest aktualne w każdym wyższym rzędzie). I tutaj pojawia się mój problem. Skoro ustaliliśmy, że \(\displaystyle{ t \neq 0}\) to po co dodatkowo zakładać, że \(\displaystyle{ s \neq 0}\)?
Czy założenie \(\displaystyle{ t \neq 0}\) nie jest wystarczające? Przecież nie ma możliwości aby nasz wektor \(\displaystyle{ (s+t,t,s)}\) był przy takim założeniu zerowy.

[Dasio11]

TL;DR: Tylko \(\displaystyle{ t \neq 0}\) jest istotne.

W ogólnym przypadku wyznaczanie postaci Jordana (czyli to, do czego służy Twoja procedura) jest dość skomplikowane. Ale ponieważ Twoje pytania dotyczą bardzo szczególnego przypadku: macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) z pojedynczą klatką Jordana dla zadanej wartości własnej (czyli takiej, że rozwiązanie układu \(\displaystyle{ (A-\lambda I) X = 0}\) zależy od tylko jednego parametru \(\displaystyle{ t \in \RR}\)), zatem ten właśnie przypadek postaram się wyjaśnić. Lojalnie uprzedzam - jeśli rozwiązując pierwszy układ \(\displaystyle{ (A-\lambda I) X = 0}\) otrzymasz, że rozwiązania są postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} t+s \\ t+2s \\ -s \end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ t, s \in \RR}\), tj. zależą od dwóch parametrów, to wszystko co poniżej jest nieaktualne.

Do rzeczy więc: jeśli wartość własna \(\displaystyle{ \lambda}\) jest rzędu pierwszego, to jak rozumiem wszystko jest jasne - wystarczy znaleźć dla niej wektor własny, czyli niezerowe rozwiązanie układu \(\displaystyle{ (A-\lambda I) X = 0}\).

Jeśli wartość jest rzędu dwa, to dążymy do znalezienia pary wektorów \(\displaystyle{ v, w \in \RR^3}\), takich że

\(\displaystyle{ \begin{cases} (A-\lambda I) \, v = w \\ (A-\lambda I) \, w = 0 \\ w \neq 0 \end{cases}}\)

W omawianym przykładzie mamy \(\displaystyle{ w = \begin{bmatrix} t \\ 0 \\ t \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} s+t \\ t \\ s \end{bmatrix}}\), które zostały wyznaczone tak, by spełniać dwa pierwsze warunki. Zatem jedynym potrzebnym założeniem jest \(\displaystyle{ w \neq 0}\), a to znaczy dokładnie tyle co \(\displaystyle{ t \neq 0}\).

Jeśli zaś wartość jest rzędu trzy, to szukamy trójki wektorów \(\displaystyle{ u, v, w \in \RR^3}\) spełniających

\(\displaystyle{ \begin{cases} (A-\lambda I) \, u = v \\ (A-\lambda I) \, v = w \\ (A-\lambda I) \, w = 0 \\ w \neq 0 \end{cases}}\)

Można to zilustrować na tzw. diagramie Younga:

\(\displaystyle{ u \xrightarrow{A - \lambda I} v \xrightarrow{A - \lambda I} \underset{\neq 0}{w} \xrightarrow{A - \lambda I} 0}\)

I znów: po wyznaczeniu wektorów \(\displaystyle{ u, v, w}\) z odpowiednich układów równań jedynym istotnym założeniem jest \(\displaystyle{ w \neq 0}\), czyli u nas \(\displaystyle{ t \neq 0}\).


Założenie \(\displaystyle{ s \neq 0}\) jest o tyle bez sensu, że \(\displaystyle{ s}\) był dobrany arbitralnie - gdyby bowiem przy rozwiązywaniu drugiego układu zamiast \(\displaystyle{ z = s}\) przyjąć \(\displaystyle{ x = r}\), to wyszłyby rozwiązania postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} r \\ t \\ r-t \end{bmatrix}}\). Wówczas założenie \(\displaystyle{ r \neq 0}\) nie byłoby równoważne \(\displaystyle{ s \neq 0}\), tylko \(\displaystyle{ s \neq -t}\) - dlaczego więc jedno z nich miałoby być poprawne a drugie nie?

[gr4vity]

Dziękuję bardzo za wyczerpującą odpowiedź, wszystko już jasne!
Wesołych Świąt!