Relacje_cd

[p_pierzchala]

Prosze o pomoc w tych zadaniach
1) Niech X = {1,2,3,4} i niech \(\displaystyle{ \Re}\) będzie relacją określoną w rodzinie wszystkich podzbiorów zbioru X (który oznaczymy przez P(X)) w ten sposób, że
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{A,B\in P(x)} (A,B)\in gr \Re \iff N(A)=N(B)}\)

gdzie N(C) oznacza liczbę elementów zbioru C należącego do P(X)
a)Udowodnić, że relacja ta jest relacją równoważności.
b)Podać tę klasę równoważności, do której należy zbiór {1,2}.

2. Niech \(\displaystyle{ f:A^{2} \to A \ i \ f:(x,y) \mapsto x+y+1, gdzie A=N \cup \lbrace0\rbrace}}\)
a)Czy jest funkcją surjektywną?
b)Czy / jest funkcją injektywną?
c)Znaleźć \(\displaystyle{ f(A\times\lbrace1\rbrace)}\)
d)Znaleźć \(\displaystyle{ f^{-1} (\lbrace0\rbrace)}\)

3.Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:X\toY.}\) W zbiorze X wprowadzamy relację
\(\displaystyle{ \Re =(X,gr \Re,X), gdzie \ gr \Re =\lbrace(x_{1},x_{2}):f(x_{1})=f(x_{2})\rbrace}\)
Wykazać, że relacja ta jest relacją równoważności. Relację tę nazywamy rozwarstwieniem zbioru X przez funkcję f. Zbiór ilorazowy względem tej relacji oznaczamy przez X/f. Jakie będą elementy zbioru (R x R)/f jeśli f jest określona w następujący sposób:
\(\displaystyle{ a)R\times R \to R\ \ \ \ \ \ \ i \ \ \ \ \ f(x,y)=x^{2}+y^{2}}\)
\(\displaystyle{ b)R\times R \to R\ \ \ \ \ \ \ i \ \ \ \ \ f(x,y)=2x+3y}\)