Macierz przejścia z bazy do bazy.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Madzzia »

Czy to zadanie zrobiłam poprawnie?
Znajdź macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy \(\displaystyle{ B'}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).

\(\displaystyle{ V= \Pi _{2}, B-kanoniczna,B'=(x^2+x+1,2x+4,2x)}\)

Baza \(\displaystyle{ B}\) jest kanoniczna czyli \(\displaystyle{ B=(1,x,x^{2})}\)

\(\displaystyle{ x^{2}+x+1=a_{11}+xa_{21}+x^{2}a_{31} \Rightarrow a_{11}=1 , a_{21}=1 , a_{31}=1}\)

\(\displaystyle{ 2x+4=a_{12}+xa_{22}+x^{2}a_{32} \Rightarrow a_{12}=4, a_{22}=2, a_{23}=0}\)

\(\displaystyle{ 2x=a_{13}+xa_{23}+x^{2}a_{33} \Rightarrow a_{13}=0, a_{23}=2, a_{33}=0}\)

\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix}1& 4&0 \\ 1&2&2\\1&0&0 \end{bmatrix}}\)
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: matmatmm »

1. Być może się mylę i jest to kwestia umowna, ale według mnie znalazłaś macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B'}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\).
2. Ściana znaczków bez komentarza nie wygląda najlepiej (szczególnie implikacje budzą zastrzeżenia).
3. Czemu musiałem się domyślać, że \(\displaystyle{ \Pi_2}\) to przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) i do tego nie wiadomo nad jakim ciałem?
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Madzzia »

matmatmm pisze: 18 gru 2021, o 21:07 1. Być może się mylę i jest to kwestia umowna, ale według mnie znalazłaś macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B'}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\).
Nie za bardzo rozumiem, co masz na myśli, że to kwestia umowna? To w końcu jest okej czy nie?
matmatmm pisze: 18 gru 2021, o 21:07 2. Ściana znaczków bez komentarza nie wygląda najlepiej (szczególnie implikacje budzą zastrzeżenia).
Okej, zwrócę na to uwagę.
matmatmm pisze: 18 gru 2021, o 21:07 3. Czemu musiałem się domyślać, że \(\displaystyle{ \Pi_2}\) to przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) i do tego nie wiadomo nad jakim ciałem?
Ćwiczeniowiec nam powiedział, że tak \(\displaystyle{ \Pi_2}\) oznaczamy przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: janusz47 »

Utożsamiając każdy wektor \(\displaystyle{ a_{2}x^2 + a_{1}x + a_{0} }\) z przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_{2}[x] }\) (wielomianów drugiego stopnia) z wektorem \(\displaystyle{ [ a_{2}, a_{1}, a_{0} ] }\) z przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}, }\) możemy utożsamiać bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} = [x^2, x, 1], \ \mathcal{ B}' = [x^2+x +1, 2x + 4, 2x] }\) odpowiednio z bazami \(\displaystyle{ \mathcal{B}'' = [ (1,0,0), (0,1,0), (0,0, 1)] , \mathcal{B}'' = [(1,1,1), (0,2,4), (0, 2, 0)]. }\)


Z definicji macierzy przejścia (przekształcenia) od jednej bazy do drugiej:

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{j}) = \alpha_{1j}\beta_{1} + \alpha_{2j}\beta_{2} +...+ \alpha_{mj}\beta_{m} = \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i,j}\beta_{i}: }\)

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{1}) = \phi(1,0,0) = (2,0,0) = \alpha_{11}\cdot (1,1, 1) + \alpha_{21}\cdot (0,2,4) + \alpha_{31}\cdot (0,2, 0) }\)

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{2}) = \phi(0,1,0) = (2,6,2) = \alpha_{12}\cdot (1,1, 1) + \alpha_{22}\cdot (0,2,4) + \alpha_{32}\cdot (0,2, 0) }\)

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{3}) = \phi(0,0,1) = (1,4,0) = \alpha_{13}\cdot (1,1, 1) + \alpha_{23}\cdot (0,2,4) + \alpha_{33}\cdot (0,2, 0) }\)

Proszę rozwiązać ten układ równań jedną z metod: eliminacji Gaussa-Jordana, (podstawienia) lub macierzy odwrotnej.

W \(\displaystyle{ j - }\) tej kolumnie macierzy przejścia \(\displaystyle{ M[(\phi)]_{B'}^{B''} }\) stoją współrzędne wektora \(\displaystyle{ \phi(\alpha_{j}) }\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}''.}\)

Druga metoda

Tworzymy macierz złożoną \(\displaystyle{ [ B''| B'] }\) z kolumn baz i stosując metodę eliminacji Gaussa-Jordana, sprowadzamy ją do postaci \(\displaystyle{ [I | C]. }\) Wtedy macierz \(\displaystyle{ C = M[(\phi)]_{B'}^{B''} }\) jest poszukiwaną macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B' }\) do bazy \(\displaystyle{ B''.}\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2021, o 11:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: matmatmm »

Madzzia pisze: 18 gru 2021, o 21:42 Nie za bardzo rozumiem, co masz na myśli, że to kwestia umowna? To w końcu jest okej czy nie?
O kwestii umownej pisałem dlatego, że nie jestem pewien czy nazewnictwo jest jednolite tzn. czy czasem to co jedni nazwą macierzą przejścia z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) inni nazwą macierzą przejścia z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ A}\).

Według mojego nazewnictwa nie jest okej, bo znalazłaś macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ B'}\), a miałaś znaleźć na odwrót.
Ćwiczeniowiec nam powiedział, że tak \(\displaystyle{ \Pi_2}\) oznaczamy przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\)
Dla mnie nie jest to standardowe oznaczenie i pierwszy raz się z nim spotkałem. Na przyszłość radzę tłumaczyć oznaczenia.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: janusz47 »

Utożsamiając każdy wektor \(\displaystyle{ a_{2}x^2 + a_{1}x + a_{0} }\) z przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_{2}[x] }\) (wielomianów drugiego stopnia) z wektorem \(\displaystyle{ [ a_{2}, a_{1}, a_{0} ] }\) z przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}, }\) możemy utożsamiać bazy \(\displaystyle{ \mathcal{B} = [x^2, x, 1], \ \mathcal{ B}' = [x^2+x +1, 2x + 4, 2x] }\) odpowiednio z bazami \(\displaystyle{ \mathcal{B}'' = [ (1,0,0), (0,1,0), (0,0, 1)] , \mathcal{B}''' = [(1,1,1), (0,2,4), (0, 2, 0)]. }\)


Z definicji macierzy przejścia (przekształcenia) od jednej bazy do drugiej:

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{j}) = \alpha_{1j}\beta_{1} + \alpha_{2j}\beta_{2} +...+ \alpha_{mj}\beta_{m} = \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i,j}\beta_{i}: }\)

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{1}) = \phi(1,0,0) = (2,4,0) = \alpha_{11}\cdot (1,1, 1) + \alpha_{21}\cdot (0,2,4) + \alpha_{31}\cdot (0,2, 0) }\)

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{2}) = \phi(0,1,0) = (2,6,2) = \alpha_{12}\cdot (1,1, 1) + \alpha_{22}\cdot (0,2,4) + \alpha_{32}\cdot (0,2, 0) }\)

\(\displaystyle{ \phi(\alpha_{3}) = \phi(0,0,1) = (1,4,0) = \alpha_{13}\cdot (1,1, 1) + \alpha_{23}\cdot (0,2,4) + \alpha_{33}\cdot (0,2, 0) }\)

Proszę rozwiązać ten układ równań jedną z metod: eliminacji Gaussa-Jordana, (podstawienia) lub macierzy odwrotnej.

W \(\displaystyle{ j - }\) tej kolumnie macierzy przejścia \(\displaystyle{ M[(\phi)]_{B''}^{B'''} }\) stoją współrzędne wektora \(\displaystyle{ \phi(\alpha_{j}) }\) w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}'''.}\)

Druga metoda

Tworzymy macierz złożoną z kolumn baz \(\displaystyle{ [ B'''| B''] }\) i stosując metodę eliminacji Gaussa-Jordana, sprowadzamy ją do postaci \(\displaystyle{ [I | C]. }\) Wtedy macierz \(\displaystyle{ C = M[(\phi)]_{B''}^{B'''} }\) jest poszukiwaną macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B'' }\) do bazy \(\displaystyle{ B'''.}\)

Oznaczenia można stosować różne. Na oznaczenie przestrzeni wielomianów stopnia drugiego jednej zmiennej przyjmuje się zwykle \(\displaystyle{ R_{2}[x]. }\)
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Madzzia »

matmatmm pisze: 19 gru 2021, o 11:09 Według mojego nazewnictwa nie jest okej, bo znalazłaś macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ B'}\), a miałaś znaleźć na odwrót.
Przecież wg. polecenia miałam znaleźć właśnie macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ B'}\).

janusz47 pisze: 19 gru 2021, o 15:08 Proszę rozwiązać ten układ równań jedną z metod: eliminacji Gaussa-Jordana, (podstawienia) lub macierzy odwrotnej.
Po rozwiązaniu otrzymuje macierz składającą się z takich wektorów: \(\displaystyle{ \left\{ (2,- \frac{1}{2},- \frac{1}{2}),( 2,0,2),(1,- \frac{1}{4}, \frac{7}{4}) \right\}}\)
A ta odpowiedź nie pokrywa się ani z moją ani z tą co dał nam prowadzący :oops:
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: janusz47 »

Pani rozwiązania są błędne.
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Madzzia »

janusz47 pisze: 19 gru 2021, o 20:09 Pani rozwiązania są błędne.
Te są błędne?
Madzzia pisze: 19 gru 2021, o 19:51 Po rozwiązaniu otrzymuje macierz składającą się z takich wektorów: \(\displaystyle{ \left\{ (2,- \frac{1}{2},- \frac{1}{2}),( 2,0,2),(1,- \frac{1}{4}, \frac{7}{4}) \right\}}\)
Czy te, które są w poście głównym?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: janusz47 »

W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3} }\) (ogólnie \(\displaystyle{ K^{n} }\)) macierzą przejścia od bazy kanonicznej do dowolnej bazy uporządkowanej \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) jest macierz przejścia o kolumnach będących wektorami bazy uporządkowanej \(\displaystyle{ \mathcal{B}. }\)

Stąd wynika, że Pani macierz przejścia powinna być w postaci:

\(\displaystyle{ M_{B"}^{B'''} = \left[ \begin{matrix} 1&0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \end{matrix} \right]. }\)

Dodano po 4 minutach 48 sekundach:
Układ równań nie rozwiązywałem.
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Madzzia »

janusz47 pisze: 19 gru 2021, o 22:02 W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3} }\) (ogólnie \(\displaystyle{ K^{n} }\)) macierzą przejścia od bazy kanonicznej do dowolnej bazy uporządkowanej \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\) jest macierz przejścia o kolumnach będących wektorami bazy uporządkowanej \(\displaystyle{ \mathcal{B}. }\)

Stąd wynika, że Pani macierz przejścia powinna być w postaci:

\(\displaystyle{ M_{B"}^{B'''} = \left[ \begin{matrix} 1&0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \end{matrix} \right]. }\)
Czyli z tego wynika, że to czy bazę \(\displaystyle{ B}\) zapisze jako \(\displaystyle{ (1,x,x^{2})}\) Czy jako \(\displaystyle{ (x^{2},x,1)}\) ma znaczenie?
Stąd właśnie wziął się mój post, na ćwiczeniach dowiedziałam się, że to nie ma znaczenia i że obie macierze przejścia są okej, dlatego chciałam się upewnić czy to rozwiązanie wyżej jest również poprawne, wychodzi na to że prowadzący wprowadził nas w błąd? Dziękuję bardzo za pomoc
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Jan Kraszewski »

Madzzia pisze: 19 gru 2021, o 22:24Czyli z tego wynika, że to czy bazę \(\displaystyle{ B}\) zapisze jako \(\displaystyle{ (1,x,x^{2})}\) Czy jako \(\displaystyle{ (x^{2},x,1)}\) ma znaczenie?
Stąd właśnie wziął się mój post, na ćwiczeniach dowiedziałam się, że to nie ma znaczenia i że obie macierze przejścia są okej,
W ogólności nie ma to znaczenia. Natomiast ma znaczenie w szczególe, bo inaczej będzie wyglądała macierz przejścia, gdy za bazę kanoniczną przyjmiemy \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\), a inaczej, gdy \(\displaystyle{ (x^2,x,1)}\). Dlatego w rozwiązaniu nie wystarczy podać, jak wygląda macierz przejścia, trzeba jeszcze określić, co uznaliśmy za bazę kanoniczną (o ile oczywiście dopuszczamy taką dowolność - przymiotnik "kanoniczna" zazwyczaj oznacza, że jest ona wyróżniona, więc można się spodziewać, że np. na wykładzie podano, czym jest baza kanoniczna przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\). I wtedy już nie ma dowolności).

JK
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Macierz przejścia z bazy do bazy.

Post autor: Madzzia »

Jan Kraszewski pisze: 19 gru 2021, o 22:44 W ogólności nie ma to znaczenia. Natomiast ma znaczenie w szczególe, bo inaczej będzie wyglądała macierz przejścia, gdy za bazę kanoniczną przyjmiemy \(\displaystyle{ (1,x,x^2)}\), a inaczej, gdy \(\displaystyle{ (x^2,x,1)}\). Dlatego w rozwiązaniu nie wystarczy podać, jak wygląda macierz przejścia, trzeba jeszcze określić, co uznaliśmy za bazę kanoniczną (o ile oczywiście dopuszczamy taką dowolność - przymiotnik "kanoniczna" zazwyczaj oznacza, że jest ona wyróżniona, więc można się spodziewać, że np. na wykładzie podano, czym jest baza kanoniczna przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\). I wtedy już nie ma dowolności).

JK
Dziękuję, teraz już wszystko jest jasne.
ODPOWIEDZ