Jądro przekształcenia liniowego

[iksnb1]

Witam,
mam sprawdzić, czy wektory \(\displaystyle{ (1,1,-1,1), (1,1,1,3)}\) generują jądro przekształcenia liniowego określonego wzorem:
\(\displaystyle{ \phi(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1}+x_{2}+3x_{3}+x_{4}, -2x_{1}-x_{2}-4x_{3}-x_{4}, x_{2}+2x_{3}+x_{4}, x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}\)

Załóżmy, że tak jest. Wtedy istnieją \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\), że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ v}\) z jądra mamy:
\(\displaystyle{ v=a(1,1,-1,1) + b(1,1,1,3)=(a+b, a+b, -a+b, a+3b)}\) i spełniony jest układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+a+b-3a+3b+a+3b = 0 \\ -2a-2b-a-b+4a-4b-a-3b = 0 \\ a+b-2a+2b+a+3b = 0 \\ a+b+2a+2b-3a+3b = 0 \end{cases} }\)

po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 8b = 0 \\ -10b = 0 \\ 6b = 0 \\ 6b = 0 \end{cases} }\)

zatem rozwiązaniem jest:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = s \\ b = 0 \end{cases},\quad s\in\mathbb{R}}\)

I tutaj mam problem z interpretacją tego wyniku. Czy to oznacza, że oba te wektory są generatorami, czy tylko wektor \(\displaystyle{ (1,1,-1,1)}\)?

Z góry dziękuję za odpowiedź

[Tmkk]

Z tych rozważań dostajesz, że \(\displaystyle{ (1,1,1,3)}\) nie jest jednym z generatorów jądra, a \(\displaystyle{ (1,1,-1,-1)}\) jest. Być może coś wiecej jest w jądrze, ale żeby się o tym przekonać, to trzeba byłoby po prostu to jądro wyznaczyć.

Swoją drogą, można było to zrobić krócej i po prostu sprawdzić, że \(\displaystyle{ \varphi(1,1,1,3) \neq 0}\).

[iksnb1]

Dziękuję za szybką odpowiedź.