Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
KLR_S
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 1 gru 2021, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Post autor: KLR_S »

Dane są dwa układy wektorów: \(\displaystyle{ B_{1}=\{(1,i,1+ i),(i,−1,2−i),(0,0,3)\}}\) i \(\displaystyle{ B_{2}=\{ (2i,1,0),(2,−i,1),(0,1 + i,1 −i)\}}\).

Sprawdź, czy któryś z tych układów stanowi bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}(\mathbb{C})}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{3}(\mathbb{R}).}\)
Ostatnio zmieniony 2 gru 2021, o 11:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Post autor: janusz47 »

Dla każdego z układów \(\displaystyle{ B_{1}, B_{2} }\) z definicji bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V }\) sprawdzamy warunki:

(i)
układ jest liniowo niezależny,

(ii)
układ rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ V, }\) to znaczy \(\displaystyle{ V = lin(B). }\)
KLR_S
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 1 gru 2021, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Post autor: KLR_S »

Z warunkiem I nie mam problemu mógłbyś pokazać jakbyś sprawdził warunek II ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Post autor: janusz47 »

Należy zbadać, czy dla każdego wektora \(\displaystyle{ [a, b, c] \in C^{3}(K) }\) prawdziwa jest przynależność \(\displaystyle{ [a,b,c] \in lin(B). }\)
KLR_S
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 1 gru 2021, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Post autor: KLR_S »

No dobrze czyli co należy zrobić ?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Sprawdzenie, czy układ stanowi bazę przestrzeni

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ B_{1}:}\)
\(\displaystyle{ [a, b, c] = x_{1} \left(\begin{matrix} 1\\ i \\ 1+ i \end{matrix} \right) + x_{2} \left(\begin{matrix} i\\ -1\\ 2- i \end{matrix} \right) +x_{3} \left(\begin{matrix} 0\\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right). }\)
ODPOWIEDZ