ortogonalność - dowód indukcyjny

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

ortogonalność - dowód indukcyjny

Post autor: july04 »

Mam do przeprowadzenia taki dowód. Pomimo zapewnień, że jest to proste, nie wiem jak go przeprowadzić.
Rozważamy okład wektorów \(\displaystyle{ \left\{ v _{1},v_{2},v_{k} \right\}}\)
Ortogonalizujemy ten okład w następujący sposób
\(\displaystyle{ u_{1}=v_{1}\\u_{2}=v_{2}- \frac{\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle }{ ||u_{1}||^{2} } \cdot u_{1}\\u_{k}=v_{k}- \frac{\left\langle v_{k},u_{1}\right\rangle }{ ||u_{1}||^{2} } \cdot u_{1}-...-\frac{\left\langle v_{k},u_{k-1}\right\rangle }{ ||u_{k-1}||^{2} } \cdot u_{k}}\)

Udowodnić, że układ wektorów \(\displaystyle{ \left\{ u _{1},u_{2},u_{k} \right\}}\) jest ortogonalny.

Przepraszam, jeżeli pomyliłem dział. Algebra wydaje mi się najwłaściwsza.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2021, o 22:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: ortogonalność - dowód indukcyjny

Post autor: Jan Kraszewski »

july04 pisze: 15 lis 2021, o 21:37Rozważamy okład wektorów \(\displaystyle{ \left\{ v _{1},v_{2},v_{k} \right\}}\)
Chyba raczej \(\displaystyle{ \left\{ v _{1},v_{2},...,v_{k} \right\}}\).

JK
july04
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Re: ortogonalność - dowód indukcyjny

Post autor: july04 »

Zgadza się moja omyłka, oczywiście chodzi o wektory
\(\displaystyle{ \left\{ v _{1},v_{2},...,v_{k} \right\}}\) oraz w efekcie wektory\(\displaystyle{ \left\{ u _{1},u_{2},...,u_{k} \right\}}\). Dziękuję za zwrócenie uwagi.
ODPOWIEDZ