Przykład wektorów.

[Madzzia]

Hejka czy mógłby ktoś podać mi przykład takich trzech wektorów, które są niezależne liniowo i nie stanowią bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} }\) ?

[a4karo]

Trzy równolegle

[Madzzia]

Trzy równolegle

A trzy wektory równoległe nie są przypadkiem zależne liniowo?

[a4karo]

Przepraszam, nie przeczytałem dokładnie treści zadania.


Jeżeli patrzysz na \(\displaystyle{ \RR^3}\) jako na przestrzeń nad \(\displaystyle{ \RR}\) to ta sztuka się nie uda. Ale gdy ciałem jest \(\displaystyle{ \QQ}\) to to da się zrobić

[Madzzia]

Właśnie mam kilka pytań, nie wiem czy nie powinnam nowego tematu założyć, ale może się uda
Nie mogę sobie poradzić z poniższymi kwestiami:
1) Budowanie macierzy z wektorów:
Jeżeli mam takie wektory: \(\displaystyle{ (1,4,5) (1,3,2)}\) to mogę zapisać je w formie macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 1 \\ 4&3\\5&2 \end{bmatrix}}\)
Jeżeli mam takie wektory:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 \\ 4\\5 \end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 \\ 3\\2 \end{bmatrix}}\)
To mogę zapisać je również w takiej samej formie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 1 \\ 4&3\\5&2 \end{bmatrix}}\)
Natomiast co jak mam tak zapisane wektory: \(\displaystyle{ x=[1,4,5], y=[1,3,2]}\)
Powinny być one złożone jak powyższe czy może tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1& 4&5 \\ 1&3&2 \end{bmatrix}}\)
W ostatnim przypadku od jedni mówią, że to nie ma znaczenia, a drudzy że koniecznie w kolumnach mają być wektory zapisane. Jak to w końcu powinno być?
2) Badanie czy dane wektory tworzą bazę pewnej przestrzeni:
Spotkałam się z takim stwierdzeniem: Kilka wektorów nazywamy bazą przestrzeni liniowej jeżeli spełniają poniższe warunki:
1) Wektory są liniowo niezależne
2) Każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów
Przy rozwiązywaniu zadań doszłam do kilku wniosków i chciałabym aby ktoś zweryfikował czy są one prawdziwe czy nie:
-Jeżeli w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) mamy odpowiednio trzy wektory i dwa wektory, to wystarczy sprawdzić pierwszy warunek ponieważ z definicji baza to maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych danej przestrzeni liniowej.
-Dwa wektory nie mogą stanowić bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) tak samo jak trzy wektory nie mogą stanowić bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\)
-Oba warunki należy sprawdzać tylko wtedy jeżeli np. mamy 4 wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)

[Jan Kraszewski]

-Jeżeli w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) mamy odpowiednio trzy wektory i dwa wektory, to wystarczy sprawdzić pierwszy warunek ponieważ z definicji baza to maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych danej przestrzeni liniowej.

Prawda.

-Dwa wektory nie mogą stanowić bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) tak samo jak trzy wektory nie mogą stanowić bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\)

Prawda.

-Oba warunki należy sprawdzać tylko wtedy jeżeli np. mamy 4 wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)

Fałsz. Cztery różne wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\) na pewno są liniowo zależne.

JK

[Madzzia]

-Oba warunki należy sprawdzać tylko wtedy jeżeli np. mamy 4 wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)

Fałsz. Cztery różne wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\) na pewno są liniowo zależne.

JK

Dziękuję pięknie za odpowiedź, w takim układzie kiedy sprawdzamy drugi warunek z tych:

Spotkałam się z takim stwierdzeniem: Kilka wektorów nazywamy bazą przestrzeni liniowej jeżeli spełniają poniższe warunki:
1) Wektory są liniowo niezależne
2) Każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów

Skoro gdy liczba wektorów pokrywa się z wymiarowością przestrzeni wystarczy sprawdzić warunek pierwszy, gdy liczba wektorów jest mniejsza to automatycznie wektory nie mogą być bazą i analogicznie w przypadku gdy liczba wektorów jest większa od wymiaru przestrzeni to również o bazie nie ma mowy to kiedy należy sprawdzić oba warunki?

[Jan Kraszewski]

Skoro gdy liczba wektorów pokrywa się z wymiarowością przestrzeni wystarczy sprawdzić warunek pierwszy, gdy liczba wektorów jest mniejsza to automatycznie wektory nie mogą być bazą i analogicznie w przypadku gdy liczba wektorów jest większa od wymiaru przestrzeni to również o bazie nie ma mowy to kiedy należy sprawdzić oba warunki?

Np. w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych.

JK

[Madzzia]

Wszystko jasne, dziękuję serdecznie za poświęcony czas!

[Dasio11]

Lub kiedy wymiar nie jest znany, na przykład przy dowodzeniu że \(\displaystyle{ \operatorname{dim} \mathbb{R}^n = n}\).