Dowód z macierzy.

[Madzzia]

Udowodnij, że macierz \(\displaystyle{ A \in \mathbb{Z}^{n \times n}}\) posiada macierz odwrotną należącą do \(\displaystyle{ \mathbb{Z}^{n \times n}}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \det(A) \in \left\{ -1,1\right\} }\).
Mogłabym prosić o wskazówkę do rozwiązania tego dowodu? Co to znaczy, że macierz odwrotna należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Z}^{n \times n}}\)?

[Jan Kraszewski]

Co to znaczy, że macierz odwrotna należy do \(\displaystyle{ \mathbb{Z}^{n \times n}}\)?

To znaczy, że interesują nas takie macierze \(\displaystyle{ n\times n}\) o współczynnikach całkowitych, których macierze odwrotne również mają współczynniki całkowite.

Mogłabym prosić o wskazówkę do rozwiązania tego dowodu?

Jaki jest związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy do niej odwrotnej?
Jaką liczbą jest wyznacznik macierzy o współczynnikach całkowitych?

JK

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\)

pełne rozwiazanie:    

Skoro \(\displaystyle{ \det A\in \left\{ -1,1\right\} }\) to \(\displaystyle{ \det A \neq 0}\) zatem \(\displaystyle{ A^{-1}}\) istnieje. Wystarczy więc pokazać, że \(\displaystyle{ A^{-1}\in \ZZ^{n \times n}}\). A to wynika ze wzoru ma macierz odwrotną w tym przypadku \(\displaystyle{ A^{-1}= \left( \det A\right) D^{\top}}\), gdzie \(\displaystyle{ D^{\top}}\) to macierz dopełnień algebraicznych transponowana. Oczywiście wszystkie minory \(\displaystyle{ A}\) jako sumy i iloczyny liczb całkowitych są całkowite zatem \(\displaystyle{ D\in\ZZ^{n \times n}}\) zatem \(\displaystyle{ D^{\top}\in\ZZ^{n \times n}}\) czyli mamy to co trzeba.

\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }\)

wskazówka:    

Skąd się bierze i co wynika z napisu

\(\displaystyle{ \underbrace{\det A}_{\in \ZZ} \cdot \underbrace{\det A^{-1}}_{\in \ZZ}=1 }\)