Własność eksponenty macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Własność eksponenty macierzy

Post autor: Iza8723 »

Udowodnij własność
\(\displaystyle{ \exp(BAB^{-1})=B(\exp A)B^{-1}.}\)
Ostatnio zmieniony 23 paź 2021, o 14:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: a4karo »

Rozwiń w szereg.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Iza8723 »

Wiem, że mogę zapisać to tak \(\displaystyle{ \exp(BAB^{-1})= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(BAB^{-1})^{n}}{n!}}\) , ale nie wiem jak to dalej rozpisać.
Ostatnio zmieniony 23 paź 2021, o 14:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Dasio11 »

Uprość \(\displaystyle{ (BAB^{-1})^n}\).

Jeśli nie wiesz jak, to uprość \(\displaystyle{ (BAB^{-1})^2, (BAB^{-1})^3, (BAB^{-1})^5}\) i uogólnij.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Iza8723 »

Nie potrafię tego uprościć, szukałam w jakoś książkach i nie znalazłam takiego dowodu
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale Ty nie masz szukać w książkach dowodu, tylko chwilę pomyśleć (nad rozwiązaniem). Czemu nie robisz tego, co Ci napisał Dasio11?

Policz: \(\displaystyle{ (BAB^{-1})^2=...}\)

JK
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Iza8723 »

Policzyłam to, chodziło mi ze nie wiem co dalej
Wyszlo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{BA^{n}B^{-1}}{n!}}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Jan Kraszewski »

No OK. A czemu jest równe z definicji \(\displaystyle{ B(\exp A)B^{-1}}\)?

JK
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Iza8723 »

Bo \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ B^{-1}}\) nie zależy od n, wiec możemy zapisać sumę tylko przy \(\displaystyle{ A^{n}}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Własność eksponenty macierzy

Post autor: Jan Kraszewski »

No na mój gust to ten argument trzeba rozwinąć. Ja bym skorzystał z definicji szeregu i rozdzielności mnożenia macierzy względem ich dodawania.

JK
ODPOWIEDZ