Podaj przykład macierzy kwadratowej takiej, że \(\displaystyle{ exp(A+B) \neq exp(A)+exp(B)}\) .
Próbowałam wziąć macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0& 0 \end{array} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{B} =
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\)
Wyszło, że \(\displaystyle{ \mathbf{expA} =
\left( \begin{array}{cc}
e & 0 \\
0& 1 \end{array} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{expB} =
\left( \begin{array}{cc}
e & 0 \\
e^{2}-e & e^{2} \end{array} \right)}\). Natomiast problem pojawił się gdy chciałam obliczyć \(\displaystyle{ exp(A+B)}\) gdyż macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A+B} =
\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\) i macierz ta nie jest diagonalizowala a w takim wypadku nie mam pomysłu jak obliczyć to \(\displaystyle{ exp(A+B)}\)
Eksponenta macierzy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Eksponenta macierzy
Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ A=B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0& 0 \end{array} \right)}\) i gotowe bo \(\displaystyle{ I \neq 2I}\). Prawie na pewno chodziło o to aby pokazać, że nie zawsze zachodzi równość
\(\displaystyle{ \exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)}\)
a to można zrobić biorąc jakieś macierze \(\displaystyle{ A,B}\) które nie komutują. Przykładowo jest to zrobione tu
Kod: Zaznacz cały
https://mathworld.wolfram.com/MatrixExponential.html
\(\displaystyle{ \exp( Xt )=\mathscr{L}^{-1}\left( (sI-X)^{-1}\right)(t) }\)
heurystyka:
2 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\) więc po żmudnych rachunkach można dostać, że
\(\displaystyle{ (sI-X)^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
\frac{s-2}{s^2-4 s+4} & 0 \\
\frac{1}{s^2-4 s+4} & \frac{s-2}{s^2-4 s+4} \\
\end{array}
\right)}\)
\begin{array}{cc}
\frac{s-2}{s^2-4 s+4} & 0 \\
\frac{1}{s^2-4 s+4} & \frac{s-2}{s^2-4 s+4} \\
\end{array}
\right)}\)
teraz można policzyć \(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}}\) po współrzędnych wstawić \(\displaystyle{ t=1}\) i dostaniesz \(\displaystyle{ e^{X}}\). I na koniec sprawdź czy faktycznie nie jest to \(\displaystyle{ e^A e^B}\).