Eksponenta macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Eksponenta macierzy

Post autor: Iza8723 »

Podaj przykład macierzy kwadratowej takiej, że \(\displaystyle{ exp(A+B) \neq exp(A)+exp(B)}\) .
Próbowałam wziąć macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0& 0 \end{array} \right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \mathbf{B} =
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\)

Wyszło, że \(\displaystyle{ \mathbf{expA} =
\left( \begin{array}{cc}
e & 0 \\
0& 1 \end{array} \right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \mathbf{expB} =
\left( \begin{array}{cc}
e & 0 \\
e^{2}-e & e^{2} \end{array} \right)}\)
. Natomiast problem pojawił się gdy chciałam obliczyć \(\displaystyle{ exp(A+B)}\) gdyż macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A+B} =
\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\)
i macierz ta nie jest diagonalizowala a w takim wypadku nie mam pomysłu jak obliczyć to \(\displaystyle{ exp(A+B)}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Eksponenta macierzy

Post autor: Janusz Tracz »

Iza8723 pisze: 17 paź 2021, o 16:39 Podaj przykład macierzy kwadratowej takiej, że \(\displaystyle{ \exp(A+B) \neq \exp(A)+\exp(B)}\) .
Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ A=B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0& 0 \end{array} \right)}\)
i gotowe bo \(\displaystyle{ I \neq 2I}\). Prawie na pewno chodziło o to aby pokazać, że nie zawsze zachodzi równość
\(\displaystyle{ \exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)}\)

a to można zrobić biorąc jakieś macierze \(\displaystyle{ A,B}\) które nie komutują. Przykładowo jest to zrobione tu

Kod: Zaznacz cały

https://mathworld.wolfram.com/MatrixExponential.html
przy okazji widać tu związek z macierzą obrotu i faktem, że \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) to obrót w \(\displaystyle{ \CC}\). Możesz też policzyć \(\displaystyle{ e^{\text{Twoja macierz}}}\) korzystając ze wzoru

\(\displaystyle{ \exp( Xt )=\mathscr{L}^{-1}\left( (sI-X)^{-1}\right)(t) }\)
heurystyka:    
przy czym transformata Laplace na macierzy jest rozumiana jako transformata po współrzędnych. U Ciebie \(\displaystyle{ X=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\)
więc po żmudnych rachunkach można dostać, że
\(\displaystyle{ (sI-X)^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
\frac{s-2}{s^2-4 s+4} & 0 \\
\frac{1}{s^2-4 s+4} & \frac{s-2}{s^2-4 s+4} \\
\end{array}
\right)}\)

teraz można policzyć \(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}}\) po współrzędnych wstawić \(\displaystyle{ t=1}\) i dostaniesz \(\displaystyle{ e^{X}}\). I na koniec sprawdź czy faktycznie nie jest to \(\displaystyle{ e^A e^B}\).
ODPOWIEDZ