Macierze i układy równań

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o pomoc i wyjaśnienie, bo tak średnio rozumiem, jak liczy się macierze. Czasem mówię matryce, bo mi się myli. 3 różne przykłady, bo chcę wiedzieć, jak je wszystkie zrobić. To nie jest cała moja praca domowa, bo mam więcej tego typu przykładów, ale jak zrozumiem, to sama zrobię. Teraz jestem na studiach, więc wracam do regularnych wątków.

1) Doprowadź macierz A do postaci całkowicie zredukowanej i wyznaczyć jej rząd.
Co to rząd macierzy? Jak wygląda postać całkowicie zredukowana macierzy, która nie jest kwadratowa? Będzie jeden rząd zer?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&3\\-1&1\\5&15\end{bmatrix}}\)

2) Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa-Jordana.
Ok czyli piszemy macierz i co dalej? Potrzebujemy koniecznie macierzy zupełnej, prawda? Dlaczego zaczynamy od odejmowania/dodawania wierszy od siebie, a nie od odejmowania/dodawania liczb od poszczególnych rzędów? Prowadzący raz odejmował od całego rzędu, a raz od wszystkich liczb poza tą ostatnią, dopełnieniową i za każdym razem mu wyszło, ja tego nie rozumiem.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-1 \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\5x_{2}-x_{3}=3 \end{cases} }\)

3) Określ liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru \(\displaystyle{ c\in \RR}\)
Skąd mam wiedzieć, że macierz jest wystarczająco zredukowana, jak jest parametr? Chociaż jak zrobię 2), to to raczej będzie proste, ale wstawiam to tutaj na wszelki wypadek.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}=1 \\ 2x_{1}+(1+c)x_{2}=-1\\(1-c)x_{1}+3x_{2}=2 \end{cases} }\)

[kmarciniak1]

Rozpoczynając studia powinnaś przerzucić się na jednak trochę inny tryb nauki.W szczególności nie powinnaś pytać użytkowników forum co to rząd macierzy tylko samemu znaleźć defnicję najlepiej w wykładzie na który uczęszczasz. W pierwszych dwóch zadaniach wyszukiwarka google powinna być pomocna. W zadaniu 3 można poradzić sobie na piechotę wyznaczając \(\displaystyle{ x_{1} }\) z pierwszego równania i wstawiając do pozostałych i pomyśl co dalej. Ale kanonicznymi metodami aby radzić sobie z tego typu zadaniami są wzory Cramera oraz twierdzenie Kroneckera-Capellego.

[Janusz Tracz]

Co to rząd macierzy?

Formalnie jest to wymiar obrazu bo macierz to pewna funkcja, a nie tabliczka z liczbami. Ale póki co możesz się tym nieprzejmowań i traktować rząd jako największy wymiar niezerowego minora tej macierzy. A minory to wyznaczniki z macierzy które powstają poprzez wykreślenie jakichś wierszy lub kolumn (w dowolny sposób ale tak aby na koniec dostać coś kwadratowego). Przykładowo

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 2&3\\-1&1\end{bmatrix}=5}\)

to minor (skreśliłem ostatni wiersz dostałem coś kwadratowego i policzyłem wyznacznik). Co to oznacza w tym przypadku?

Jak wygląda postać całkowicie zredukowana macierzy, która nie jest kwadratowa? Będzie jeden rząd zer?

Domyślam się, że postać zredukowana to synonim od schodkowej? W tym przypadku będzie jeden rząd zer.

Ok czyli piszemy macierz i co dalej? Potrzebujemy koniecznie macierzy zupełnej, prawda?

Nie wiem czym jest macierz zupełna.

Dlaczego zaczynamy od odejmowania/dodawania wierszy od siebie, a nie od odejmowania/dodawania liczb od poszczególnych rzędów?

Jakich rzędów? Rzędów w sensie kolumn? Kolumn się w metodzie Gaussa-Jordana nie rusza bo odpowiadają one zmiennym \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\) w tej kolejności. Więc najbardziej szaloną rzeczą na która można się porwać to zamiana kolejności która nic nie wnosi i tylko myli. A na wierszach już można robić operacje elementarne.

Prowadzący raz odejmował od całego rzędu, a raz od wszystkich liczb poza tą ostatnią, dopełnieniową i za każdym razem mu wyszło, ja tego nie rozumiem.

Też tego nie rozumiem.

Określ liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru \(\displaystyle{ c\in \RR}\)

Tu podpisuje się pod pomysłem kmarciniak1. Pokaż swoje próby rozwiązania tego wzorami Cramera lub twierdzeniem Kroneckera-Capellego.

[Niepokonana]

Eee no dobra, nad tym rządem macierzy, który trzeba znaleźć, to rano pomyślę. Myślałam, że to jest coś prostego i mi to wyjaśnicie w dwóch zdaniach, a to nie takie oczywiste.

A to nie tak, że postać schodkowa to synonim do zredukowanej? No tak, chodzi o schodkową, ale w zadaniu mam napisane zredukowaną.

Mówiąc rząd, miałam na myśli wiersz. No wiesz, odejmuję drugi rząd od pierwszego albo odwrotnie. No i zastanawiałam się, dlaczego dopiero na końcu robimy prostsze przekształcenia, ale teraz myślę, że tak jest lepiej.

No bo widzisz. Są dwie wersje macierzy. Pierwsza niezupełna zawiera tylko te liczby, które stoją przy szukanych, a zupełna zawiera również wyrazy wolne.
W sensie, że 3) mogę zrobić normalnymi metodami? No to sobie jakoś poradzę.

Kmarciniak, Ty prawicowy kapitalisto, oczywiście, że się ogarnę i będę sama myśleć, ale to trochę potrwa. W szkole nie musiałam myśleć i się nie przyzwyczaiłam.

[Janusz Tracz]

Eee no dobra, nad tym rządem macierzy, który trzeba znaleźć, to rano pomyślę. Myślałam, że to jest coś prostego i mi to wyjaśnicie w dwóch zdaniach, a to nie takie oczywiste.

A wiesz co to wyznacznik macierzy i umiesz go policzyć?

[Gouranga]

2) Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa-Jordana.
Ok czyli piszemy macierz i co dalej? Potrzebujemy koniecznie macierzy zupełnej, prawda? Dlaczego zaczynamy od odejmowania/dodawania wierszy od siebie, a nie od odejmowania/dodawania liczb od poszczególnych rzędów? Prowadzący raz odejmował od całego rzędu, a raz od wszystkich liczb poza tą ostatnią, dopełnieniową i za każdym razem mu wyszło, ja tego nie rozumiem.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-1 \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\5x_{2}-x_{3}=3 \end{cases} }\)

po pierwsze nie możesz dodawać ani odejmować żadnych liczb do rzędów, możesz mnożyć rzędy przez liczby (i tylko rzędy, kolumny nie). Docelowo chcesz mieć macierz gdzie na przekątnej masz jedynki, pod przekątną zera żeby z ostatniego równania mieć ostatnią zmienną, wstawić ją wyżej, obliczyć przedostatnią, wstawić obie wyżej i tak stopniowo wyznaczać kolejne. W podanym przykładzie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-1 \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\5x_{2}-x_{3}=3 \end{cases} }\)

Najpierw od drugiego rzędu odejmiemy dwa razy pierwszy żeby pozbyć się dwójki i zrobić z niej zero

\(\displaystyle{
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1& -2 & 1 & -1 \\
2&1&1&5\\
0&5&-1&3
\end{array}
\right]

\stackrel{w_2 - 2w_1}{=}

\left[
\begin{array}{ccc|c}
1& -2 & 1 & -1 \\
0&5&-1&7\\
0&5&-1&3
\end{array}
\right]
}\)

Teraz możemy od trzeciego odjąć drugi zeby pozbyć się piątki

\(\displaystyle{
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1& -2 & 1 & -1 \\
0&5&-1&7\\
0&5&-1&3
\end{array}
\right]

\stackrel{w_3 - w_2}{=}

\left[
\begin{array}{ccc|c}
1& -2 & 1 & -1 \\
0&5&-1&7\\
0&0&0&-4
\end{array}
\right]
}\)

otrzymaliśmy \(\displaystyle{ 0 = -4}\), sprzeczność więc brak rozwiązań. Gdyby trzeci rząd się nie wyzerował to wtedy każdy rząd dzielimy cały przez liczbę tak, żeby na przekątnej zostały nam jedynki i podstawiamy od dołu do góry.
Pamiętaj też, że rzędy możesz zamieniać miejscami, kolumny nie.

[Niepokonana]

Dziękuję za pomoc. Na szczęście okazało się, że to nie była praca domowa, tylko doktor wysłał nam zadania przed zajęciami, żebyśmy się z nimi zapoznali. Potrzebuję formalnych oznaczeń na "praca domowa" i "przemyślcie to państwo".