wyznaczniki macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
forvev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 15 wrz 2021, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 7 razy

wyznaczniki macierzy

Post autor: forvev »

Polecenie brzmi:

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą odwracalną wymiaru \(\displaystyle{ 3×3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 5A ^{-1} }\), jeżeli wiemy, że wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest równy \(\displaystyle{ 5}\)?

Skorzystałem z własności, że wyznacznik macierz \(\displaystyle{ \det A = \det A ^{-1}}\), a następnie pomnożyłem wynik przez 5. I to jest wynik poprawny(tak wynika z odpowiedzi). Moje pytanie brzmi czy poprawne byłoby również skorzystanie z takiej własności, że mnożąc każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 5}\) za każdym razem mnożymy jej wyznacznik o tą liczbę. Czyli wynik byłby \(\displaystyle{ 625}\).

Ta druga odpowiedź nasunęła mi się po zrobieniu bardzo podobnego zadania, w którym właśnie trzeba było pomnożyć każdy wiersz, aby otrzymać prawidłowy wynik:

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ 3×3}\), której wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 2B}\), przy czym macierz \(\displaystyle{ B}\) powstała z macierzy \(\displaystyle{ A}\) przez zamianę miejscami wiersza pierwszego i trzeciego.

Tutaj skorzystałem z własności, że jak zamieniamy wiersze ze sobą to zmienia się znak wyznacznika, więc \(\displaystyle{ \det B=-3}\). Następnie pomnożyłem każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 2}\)(było ich trzy, więc za każdym razem mnożyłem wyznacznik przez \(\displaystyle{ 2}\)) przez co wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -24}\)(i to również jest prawidłowa odpowiedź).

A więc dlaczego w tym drugim zadaniu nie mogłem po prostu pomnożyć tak ja w pierwszym, czyli \(\displaystyle{ 2B}\), a więc \(\displaystyle{ 2\cdot (-3)}\), czyli wynik byłby \(\displaystyle{ -6}\)?

Mam nadzieję, że dobrze udało mi się przedstawić mój problem.
Byłbym bardzo wdzięczny za każdą wskazówkę:)
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2021, o 13:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: wyznaczniki macierzy

Post autor: Jan Kraszewski »

forvev pisze: 19 wrz 2021, o 13:00 Skorzystałem z własności, że wyznacznik macierz \(\displaystyle{ \det A = \det A ^{-1}}\)
A skąd wziąłeś tę nieprawdziwą własność?
forvev pisze: 19 wrz 2021, o 13:00a następnie pomnożyłem wynik przez 5. I to jest wynik poprawny
Czysty przypadek.
forvev pisze: 19 wrz 2021, o 13:00Tutaj skorzystałem z własności, że jak zamieniamy wiersze ze sobą to zmienia się znak wyznacznika, więc \(\displaystyle{ \det B=-3}\). Następnie pomnożyłem każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 2}\)(było ich trzy, więc za każdym razem mnożyłem wyznacznik przez \(\displaystyle{ 2}\)) przez co wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -24}\)(i to również jest prawidłowa odpowiedź).
I to jest dobre podejście.
forvev pisze: 19 wrz 2021, o 13:00A więc dlaczego w tym drugim zadaniu nie mogłem po prostu pomnożyć tak ja w pierwszym, czyli \(\displaystyle{ 2B}\), a więc \(\displaystyle{ 2\cdot (-3)}\), czyli wynik byłby \(\displaystyle{ -6}\)?
Bo mnożenie macierzy przez stałą nie jest (poza przypadkiem jednowymiarowym) tożsame z mnożeniem przez tę samą stałą jej wyznacznika.

JK
forvev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 15 wrz 2021, o 22:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 7 razy

Re: wyznaczniki macierzy

Post autor: forvev »

Jan Kraszewski pisze: 19 wrz 2021, o 13:45
forvev pisze: 19 wrz 2021, o 13:00 Skorzystałem z własności, że wyznacznik macierz \(\displaystyle{ \det A = \det A ^{-1}}\)
A skąd wziąłeś tę nieprawdziwą własność?

Już wszystko wiem, miałem błąd w notatkach, gdyż zamiast \(\displaystyle{ \det A ^{T} = \det A}\) miałem \(\displaystyle{ \det A ^{-1}=\det A }\)...

Dzięki wielkie za pomoc!
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2021, o 14:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ