Polecenie brzmi:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą odwracalną wymiaru \(\displaystyle{ 3×3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 5A ^{-1} }\), jeżeli wiemy, że wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest równy \(\displaystyle{ 5}\)?
Skorzystałem z własności, że wyznacznik macierz \(\displaystyle{ \det A = \det A ^{-1}}\), a następnie pomnożyłem wynik przez 5. I to jest wynik poprawny(tak wynika z odpowiedzi). Moje pytanie brzmi czy poprawne byłoby również skorzystanie z takiej własności, że mnożąc każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 5}\) za każdym razem mnożymy jej wyznacznik o tą liczbę. Czyli wynik byłby \(\displaystyle{ 625}\).
Ta druga odpowiedź nasunęła mi się po zrobieniu bardzo podobnego zadania, w którym właśnie trzeba było pomnożyć każdy wiersz, aby otrzymać prawidłowy wynik:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ 3×3}\), której wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 2B}\), przy czym macierz \(\displaystyle{ B}\) powstała z macierzy \(\displaystyle{ A}\) przez zamianę miejscami wiersza pierwszego i trzeciego.
Tutaj skorzystałem z własności, że jak zamieniamy wiersze ze sobą to zmienia się znak wyznacznika, więc \(\displaystyle{ \det B=-3}\). Następnie pomnożyłem każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 2}\)(było ich trzy, więc za każdym razem mnożyłem wyznacznik przez \(\displaystyle{ 2}\)) przez co wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -24}\)(i to również jest prawidłowa odpowiedź).
A więc dlaczego w tym drugim zadaniu nie mogłem po prostu pomnożyć tak ja w pierwszym, czyli \(\displaystyle{ 2B}\), a więc \(\displaystyle{ 2\cdot (-3)}\), czyli wynik byłby \(\displaystyle{ -6}\)?
Mam nadzieję, że dobrze udało mi się przedstawić mój problem.
Byłbym bardzo wdzięczny za każdą wskazówkę:)
wyznaczniki macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 15 wrz 2021, o 22:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
wyznaczniki macierzy
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2021, o 13:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: wyznaczniki macierzy
A skąd wziąłeś tę nieprawdziwą własność?
Czysty przypadek.
I to jest dobre podejście.forvev pisze: ↑19 wrz 2021, o 13:00Tutaj skorzystałem z własności, że jak zamieniamy wiersze ze sobą to zmienia się znak wyznacznika, więc \(\displaystyle{ \det B=-3}\). Następnie pomnożyłem każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 2}\)(było ich trzy, więc za każdym razem mnożyłem wyznacznik przez \(\displaystyle{ 2}\)) przez co wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -24}\)(i to również jest prawidłowa odpowiedź).
Bo mnożenie macierzy przez stałą nie jest (poza przypadkiem jednowymiarowym) tożsame z mnożeniem przez tę samą stałą jej wyznacznika.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 15 wrz 2021, o 22:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
Re: wyznaczniki macierzy
Już wszystko wiem, miałem błąd w notatkach, gdyż zamiast \(\displaystyle{ \det A ^{T} = \det A}\) miałem \(\displaystyle{ \det A ^{-1}=\det A }\)...
Dzięki wielkie za pomoc!
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2021, o 14:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.