Procedura Grama-Schmidta
-
Pentulum
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 18 maja 2021, o 18:20
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 15 razy
Procedura Grama-Schmidta
Przestrzeń unitarna ma bazę ortonormalną \(\displaystyle{ e_{1},e_{2},e_{3}}\). Rozważamy wektory \(\displaystyle{ f_{1}=e_{1}+e_{2}}\), \(\displaystyle{ f_{2}=e_{2}+e_{3}}\),\(\displaystyle{ f_{3}=2e_{3}}\). Stosujemy do nich procedurę Grama-Schmidta, wektory otrzymane w ten sposób oznaczamy \(\displaystyle{ f'_{1},f'_{2},f'_{3}}\). Podać postać \(\displaystyle{ f'_{3}}\).
Ostatnio zmieniony 29 sie 2021, o 23:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Procedura Grama-Schmidta
Wektory bazy standardowej: \(\displaystyle{ \vec{e}_{1} = \left[ \begin{matrix} 1 \\0 \\0 \end{matrix} \right] }\), \(\displaystyle{ \vec{e}_{2} = \left[ \begin{matrix} 0\\1 \\0 \end{matrix} \right], \vec{e}_{3} = \left[ \begin{matrix} 0 \\0 \\1 \end{matrix} \right]. }\)
\(\displaystyle{ \vec{f}_{1} = \vec{e}_{1} + \vec{e}_{2} = ... ,}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}_{2} =\vec{e}_{2} + \vec{e}_{3} = ...,}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}_{3} = 2\cdot \vec{e}_{3} =.... }\)
Procedura ortogonalizacji Grama-Schmidta:
\(\displaystyle{ \vec{f'}_{1} = \vec{f}_{1} =... }\)
\(\displaystyle{ \vec{f'}_{2}= \vec{f}_{2} - \frac{\vec{f}_{2}\cdot \vec{f'}_{1}}{|\vec{f'}_{1}|^2}\cdot \vec{f'}_{1}=... }\)
\(\displaystyle{ \vec{f'}_{3}= \vec{f}_{3} - \frac{\vec{f}_{3}\cdot \vec{f'}_{1}}{|\vec{f'}_{1}|^2}\cdot \vec{f'}_{1} - \frac{\vec{f}_{3}\cdot \vec{f'}_{2}}{|\vec{f'}_{2}|^2}\cdot \vec{f'}_{2}=...}\)
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \vec{f'}_{1} = \left[ \begin{matrix} 1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right], \vec{f'}_{2} = \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{2}\\ \ \ \frac{1}{2} \\ \ \ 1 \end{matrix} \right], \vec{f'}_{3} = \left[ \begin{matrix} -\frac{2}{3}\\ \ \ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{matrix} \right]. }\)
\(\displaystyle{ \vec{f}_{1} = \vec{e}_{1} + \vec{e}_{2} = ... ,}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}_{2} =\vec{e}_{2} + \vec{e}_{3} = ...,}\)
\(\displaystyle{ \vec{f}_{3} = 2\cdot \vec{e}_{3} =.... }\)
Procedura ortogonalizacji Grama-Schmidta:
\(\displaystyle{ \vec{f'}_{1} = \vec{f}_{1} =... }\)
\(\displaystyle{ \vec{f'}_{2}= \vec{f}_{2} - \frac{\vec{f}_{2}\cdot \vec{f'}_{1}}{|\vec{f'}_{1}|^2}\cdot \vec{f'}_{1}=... }\)
\(\displaystyle{ \vec{f'}_{3}= \vec{f}_{3} - \frac{\vec{f}_{3}\cdot \vec{f'}_{1}}{|\vec{f'}_{1}|^2}\cdot \vec{f'}_{1} - \frac{\vec{f}_{3}\cdot \vec{f'}_{2}}{|\vec{f'}_{2}|^2}\cdot \vec{f'}_{2}=...}\)
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \vec{f'}_{1} = \left[ \begin{matrix} 1\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right], \vec{f'}_{2} = \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{2}\\ \ \ \frac{1}{2} \\ \ \ 1 \end{matrix} \right], \vec{f'}_{3} = \left[ \begin{matrix} -\frac{2}{3}\\ \ \ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{matrix} \right]. }\)