Grupa izometrii
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Grupa izometrii
Zadanie: Niech \(\displaystyle{ I(\RR^2)}\) będzie zbiorem izometrii na płaszczyźnie. Określmy działanie składania: \(\displaystyle{ \circ (f,g) = f \circ g}\). Czy \(\displaystyle{ I(\RR^2)}\) z działaniem "\(\displaystyle{ \circ}\)" stanowi grupę?
Podczas powtórki z algebry liniowej natknąłem się na takie zadanie i niestety nie potrafię go zrobić. Mam problem z tym, że nie mamy wprost podanych tych funkcji. Bardzo proszę o podpowiedź.
Podczas powtórki z algebry liniowej natknąłem się na takie zadanie i niestety nie potrafię go zrobić. Mam problem z tym, że nie mamy wprost podanych tych funkcji. Bardzo proszę o podpowiedź.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Grupa izometrii
Musisz sprawdzić warunki z definicji grupy: łączność, istnienie elementu neutralnego, istnienie elementu odwrotnego.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Grupa izometrii
Ale właśnie moim problemem jest to, że nie bardzo wiem co ma spełniać te warunki. Nie ma chyba jakiegoś wzoru określającego Izometrię?
Mogę sprawdzić dla \(\displaystyle{ f(x) = x}\) i paru innych jakie mi przychodzą do głowy, ale nawet jak sprawdzę je wszystkie, to skąd będę miał pewność, że nie ma innych? Symetria środkowa, symetria osiowa, obrót, identyczność, przesunięcie... Mam ich już pięć, sprawdzenie samych ich złożeń (co również wydaje się być izometrią) to już \(\displaystyle{ 32.}\) W końcu doszedłem do (smutnego) wniosku, że po prostu nie zrozumiałem zadania - dlatego proszę o pomoc.
Mogę sprawdzić dla \(\displaystyle{ f(x) = x}\) i paru innych jakie mi przychodzą do głowy, ale nawet jak sprawdzę je wszystkie, to skąd będę miał pewność, że nie ma innych? Symetria środkowa, symetria osiowa, obrót, identyczność, przesunięcie... Mam ich już pięć, sprawdzenie samych ich złożeń (co również wydaje się być izometrią) to już \(\displaystyle{ 32.}\) W końcu doszedłem do (smutnego) wniosku, że po prostu nie zrozumiałem zadania - dlatego proszę o pomoc.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Grupa izometrii
A czy w definicji izometrii jaką stosujesz wymagasz aby izometria była bijekcją? Widziałem różne podejścia czasem nie zakłada się bijektwności izometrii ale akurat w \(\displaystyle{ \RR^2}\) każda izometria jest bijekcją (pytanie czy to jest część dowodu czy uznajesz to za fakt).
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Grupa izometrii
Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa. Izometria jako bijekcja posiada funkcję odwrotną, złożenie funkcji i funkcji do niej odwrotnej jest funkcją identycznościową. Natomiast nadal mam problem z łącznością.
A to, że izometria jest bijekcją przyjmuję za fakt (tak jest zdefiniowana w książce).
A to, że izometria jest bijekcją przyjmuję za fakt (tak jest zdefiniowana w książce).
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Grupa izometrii
To że izometria jest bijekcją wynika z jej definicji i powinieneś to udowodnić.
Ale potrzebujesz więcej: musisz pokazać, że funkcja odwrotna też jest izometria
Ale potrzebujesz więcej: musisz pokazać, że funkcja odwrotna też jest izometria
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Grupa izometrii
Nie każda izometria dowolnej przestrzeni metrycznej (o ile się tego dodatkowo nie założy w definicji) jest bijekcją
przykład:
Izometrie w C:
Izometrie w R^2:
\(\displaystyle{ \text{Isom}(X)=\left\{ f\in \text{Bijekcje}(X,X) : f-\text{ izometria}\right\} }\)
wraz ze składaniem \(\displaystyle{ \circ}\) stanowi grupę. I polecam udowodnić to bo nie jest to trudniejsze od dowodu, że \(\displaystyle{ (\text{Isom}(\RR^2),\circ)}\) jest grupą, a dostaje się coś istotnie ogólniejszego. Kilka uwag do dowodu
- łączność działania \(\displaystyle{ \circ}\) masz praktycznie za darmo. Składanie przekształceń jest zawsze łączne,
- istnienie funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f\in\text{Isom}(X)}\) wynika z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Trzeba jednak sprawdzić, że funkcja odwrotna też jest izometrią to znaczy czy \(\displaystyle{ f^{-1}\in\text{Isom}(X)}\),
- jeśli sprawdzisz, że dla dowolnych \(\displaystyle{ f,g\in \text{Isom}(X)}\) mamy \(\displaystyle{ f\circ g\in\text{Isom}(X)}\) to istnienie elementu neutralnego masz za darmo bo \(\displaystyle{ f\circ f^{-1}=\text{id}\in\text{Isom}(X)}\). Choć to ostatnie można sobie odpuścić i bardziej elegansko będzie po prostu napisać, że \(\displaystyle{ \text{id}\in\text{Isom}(X)}\).