wykazywanie przestrzeni liniowej na zbiorach wielomianów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
sigi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 cze 2021, o 21:35
Płeć: Kobieta
wiek: 20

wykazywanie przestrzeni liniowej na zbiorach wielomianów

Post autor: sigi »

Mam następujące zadanie:
Dane mamy dwa podzbiory zawarte w zbiorze \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) wielomianów stopnia co najwyżej 2 zmiennej rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ \cdot}\)zbiór \(\displaystyle{ U}\) zawiera wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ f \in \RR_2[x]}\) postaci:
\(\displaystyle{ f(x)= a_1x+a_2x^2}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1,a_2 \in \RR}\) są dowolnymi liczbami.

\(\displaystyle{ \cdot}\)zbiór \(\displaystyle{ V}\) zawiera wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ f \in \RR_2[x]}\) postaci:
\(\displaystyle{ f(x)=a_0+x+a_1x+x^2}\) gdzie \(\displaystyle{ a_0,a_1 \in \RR}\) są dowolnymi liczbami.

\(\displaystyle{ a)}\) wykazać że \(\displaystyle{ (U,+, \cdot) }\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\).
\(\displaystyle{ b)}\) wykazać że \(\displaystyle{ (V,+, \cdot) }\) nie jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\).

Dla podpunktu b wymyśliłam cos takiego:
\(\displaystyle{ f(x)=a_0+x+a_1x+x^2}\)
\(\displaystyle{ g(x)=b_0+x+b_1x+x^2}\)
\(\displaystyle{ f(x)+g(x)=(a_0+b_0)x+x+(a_1+b_1+1)x+2x^2}\)
Wydaje mi się że \(\displaystyle{ f(x)+g(x)}\) nie należy do \(\displaystyle{ V}\) ze względu na współczynnik 2 przy \(\displaystyle{ x^2}\) co wykazuje że nie jest to przestrzeń liniowa, ale nie jestem w najmniejszym stopniu pewna tego rozwiązania, więc proszę o nakierowanie na właściwą ścieżkę.
Ostatnio zmieniony 29 cze 2021, o 01:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: wykazywanie przestrzeni liniowej na zbiorach wielomianów

Post autor: krl »

W zasadzie Twoje rozwiązanie punktu (b) jest poprawne, ma jednak wady formalne. Zauważasz mianowicie, że \(\displaystyle{ V}\) nie jest przestrzenią liniową, bo nie jest zamknięty na dodawanie. Słusznie. Tyle, że Twoje uzasadnienie jest nie najlepsze. Wykonujesz rachunki na znaczkach. Rozważasz nieokreślone wielomiany \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) (nieokreślone, bo nie wiadomo, jakie są \(\displaystyle{ a_0,a_1,b_0,b_1}\)). By pokazać, że \(\displaystyle{ V}\) nie jest zamknięte na dodawanie, wystarczy wskazać dowolne jego elementy \(\displaystyle{ f,g\in V}\) takie, że \(\displaystyle{ f+g\not\in V}\).
Najprościej więc rozważyć konkretne \(\displaystyle{ f(x) = x^2 = g(x)}\) (wtedy \(\displaystyle{ a_0=b_0=0}\) i \(\displaystyle{ a_1=b_1=-1}\)). Wtedy \(\displaystyle{ f(x),g(x)\in V}\), ale \(\displaystyle{ (f+g)(x) = 2x^2\not\in V}\).
sigi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 cze 2021, o 21:35
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: wykazywanie przestrzeni liniowej na zbiorach wielomianów

Post autor: sigi »

Dziękuję bardzo! Próbuję teraz rozwiązać podpunkt a, dla którego mam:
\(\displaystyle{ f(x)=a_1x+a_2x^2}\)
\(\displaystyle{ g(x)=b_1x+b_2x^2}\)
\(\displaystyle{ (f+g)(x)=(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2}\)
Skoro \(\displaystyle{ a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb {R}}\) to uzyskane wyżej współczynniki \(\displaystyle{ (a_1+b_1),(a_2+b_2) \in \mathbb {R}}\), zatem \(\displaystyle{ (f+g)(x) \in U}\)
Dalej: niech \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb {R}}\)
\(\displaystyle{ \alpha f(x)=\alpha a_1x+\alpha a_2x^2}\)
Skoro \(\displaystyle{ a_1,a_2, \alpha \in \mathbb {R}}\) to uzyskane wyżej współczynniki \(\displaystyle{ (\alpha a_1),(\alpha a_2) \in \mathbb {R}}\), zatem \(\displaystyle{ \alpha f(x) \in U}\)
Czy taki dowód zamkniętości \(\displaystyle{ U}\) ze względu na dodawanie i mnożenie przez liczby z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wystarczy aby wykazać że \(\displaystyle{ (U,+, \cdot)}\) jest przestrzenią liniową?
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

Re: wykazywanie przestrzeni liniowej na zbiorach wielomianów

Post autor: krl »

Tak, oczywiście.
ODPOWIEDZ