Diagonalizacja, wartości własne i wektory własne.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
wiola0326
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 4 lis 2020, o 17:22
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Diagonalizacja, wartości własne i wektory własne.

Post autor: wiola0326 »

Mam problem z zadaniem. Muszę wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4\\
3 & 5 & 2\\
2 & 6 & 1 \end{bmatrix}}\)
i jeśli jest diagonalizowalna to podać macierz diagonalną \(\displaystyle{ D}\) oraz macierze nieosobliwe \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P ^{-1} }\) takie, że \(\displaystyle{ D=P ^{-1}\cdot A\cdot P}\)

Więc po kolei zaczęłam od wyznaczenia wartości własnych i wektorów własnych.
Ze wzoru \(\displaystyle{ \det(A-\lambda\cdot I)=0}\) wyszła mi tylko jedna wartość własna \(\displaystyle{ \lambda=9}\) krotności \(\displaystyle{ 1}\).
Następnie obliczając wektory własne wyszedł mi tylko jeden liniowo niezależny wektor własny mający postać \(\displaystyle{ \left[ \frac{5}{7}a,a, \frac{13}{14}a\right], a\in\mathbb{R} }\).

Co do diagonalizowalności macierzy, zachodzi warunek \(\displaystyle{ \dim V_{\lambda}=1=k}\), bo wymiar przestrzeni własnej "wyliczyłam" na podstawie wektorów własnych.
Czy do tego momentu jest wszystko poprawne? Bo dalej mi się wszystko komplikuje.
Otóż nie jestem pewna, czy macierz diagonalna \(\displaystyle{ D}\) będzie miała postać \(\displaystyle{ D=\begin{bmatrix}
9 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}\)

Jeśli tak co z macierzami \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P ^{-1} }\)? \(\displaystyle{ P}\) jest, z tego co wiem, zbudowana z wektorów własnych, ale jest on tylko jeden i wtedy macierz będzie wyglądała \(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}
\frac{5}{7} \\
1 \\
\frac{13}{14} \end{bmatrix}}\)
i wtedy nie możemy znaleźć \(\displaystyle{ P ^{-1} }\), gdyż \(\displaystyle{ P}\) nie jest odwracalna.

Czy mój tok rozumowania od początku jest zły? Proszę o pomoc!

Dodano po 8 minutach 27 sekundach:
Czy jednak jest to kwestia tego, że macierz nie będzie diagonalizowalna, ponieważ wymiar macierzy to \(\displaystyle{ 3}\) a wartością własną jest tylko \(\displaystyle{ 9}\) krotności \(\displaystyle{ 1}\)?
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2021, o 13:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Diagonalizacja, wartości własne i wektory własne.

Post autor: kmarciniak1 »

wiola0326 pisze: 8 kwie 2021, o 13:58

Dodano po 8 minutach 27 sekundach:
Czy jednak jest to kwestia tego, że macierz nie będzie diagonalizowalna, ponieważ wymiar macierzy to \(\displaystyle{ 3}\) a wartością własną jest tylko \(\displaystyle{ 9}\) krotności \(\displaystyle{ 1}\)?
Aby macierz była diagonalizowalna nad liczbami rzeczywistymi to wymagamy aby wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego były rzeczywiste( i nie jest to warunek wystarczający). Dla twojej macierzy tak nie jest więc istotnie nie da się jej zdiagonalizować. Aczkolwiek Wolfram Alpha podpowiada że ta macierz diagonalizuje się nad liczbami zespolonymi choć nie wiem czy to Ci jest potrzebne.
ODPOWIEDZ