Rozstrzygnij, czy podany zbiór jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni R^3

[kostek525]

\(\displaystyle{ V_{2} = \left\{ [x, y, z] \in \RR^{3} : x^{2} - z^{2} = 0 \right\} }\)
Skorzystałem z własności podprzestrzeni liniowej i wyszło mi, że zbiór jest podprzestrzenią, w odpowiedziach dołączonych do zadania widnieje zaś, że zbiór ten nie jest podprzestrzenią.

[Jan Kraszewski]

Ciekawe, jak sprawdziłeś zamkniętość na dodawanie...

Pomyśl o \(\displaystyle{ (1,0,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\).

JK

[kostek525]

Ciekawe, jak sprawdziłeś zamkniętość na dodawanie...

Pomyśl o \(\displaystyle{ (1,0,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\).

JK

Chwilka, z warunku podprzestrzeni wynika, że \(\displaystyle{ x^{2} - z^{2} = 0}\), zatem \(\displaystyle{ x = z \vee x = -z }\)
Stąd wynika, że do zbioru będą należeć wszystkie wektory, których współrzedne są określone następująco: \(\displaystyle{ \left[ x, y, x\right]}\) lub \(\displaystyle{ \left[ x, y, -x\right]}\).
Zrozumiałem to tak, że aby zbiór był podprzestrzenią, to wystarczy, że którykolwiek, (choćby tylko i wyłącznie ten \(\displaystyle{ [x,y,x]}\)) z dwóch warunków zostanie spełniony.
Wtedy zamkniętość na dodawanie wykazujemy następująco:
\(\displaystyle{ a,b \in V_{2}, a+b = [x,y,x] + [m, n, m] = [x+m, y+n, x+m] \in V_{2} }\)
W którym miejscu jest błąd?

[Jan Kraszewski]

Zrozumiałem to tak, że aby zbiór był podprzestrzenią, to wystarczy, że którykolwiek, (choćby tylko i wyłącznie ten \(\displaystyle{ [x,y,x]}\)) z dwóch warunków zostanie spełniony.

Co Ci się pomieszało. Żeby wektor należał do rozważanego zbioru, to musi być w jednej z tych dwóch postaci. Natomiast by zbiór był podprzestrzenią konieczne jest (ale jeszcze nie wystarczające), by suma dowolnych dwóch wektorów z tego zbioru była w tym zbiorze (a pokazany przeze mnie przykład pokazuje, że tak nie jest).

Wtedy zamkniętość na dodawanie wykazujemy następująco:
\(\displaystyle{ a,b \in V_{2}, a+b = [x,y,x] + [m, n, m] = [x+m, y+n, x+m] \in V_{2} }\)

No skąd. Tak sprawdzasz ten warunek tylko dla zbioru \(\displaystyle{ \{[x,y,z]\in \RR^3:x=z\}}\) (który istotnie jest podprzestrzenią).

Wyraźnie brakuje Ci intuicji geometrycznej - zbiór \(\displaystyle{ V_2}\) to suma mnogościowa dwóch (prostopadłych) płaszczyzn, która w dość oczywisty sposób nie jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^3}\).

JK

[kostek525]

Żeby wektor należał do rozważanego zbioru, to musi być w jednej z tych dwóch postaci. Natomiast by zbiór był podprzestrzenią konieczne jest (ale jeszcze nie wystarczające), by suma dowolnych dwóch wektorów z tego zbioru była w tym zbiorze (a pokazany przeze mnie przykład pokazuje, że tak nie jest).

Naturalnie. Teraz to jasne.