Czy macierz jest diagonalna?

[Karol566]

Mamy taką macierz
\(\displaystyle{ A+A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}-1&2&-1\\0&0&2\\0&0&1\end{array}\right]}\)
Czy macierz \(\displaystyle{ A^3+(A^{-1})^3}\) jest diagonalizowalna i dlaczego?

[kmarciniak1]

Po chwili kontemplacji zauważmy, że możemy tutaj zastosować znany ze szkoły wzór\(\displaystyle{ (a+b) ^{3}=a ^{3}+3a ^{2}b+3ab ^{2} +b ^{3} }\)
Potrafisz uzasadnić dlaczego?
A więc podnieśmy równość z zadania stronami do trzeciej potęgi.
\(\displaystyle{ \displaystyle{A ^{3}+3A ^{2}A ^{-1} +3A(A ^{-1}) ^{2} +(A ^{-1}) ^{3} =\left[\begin{array}{cccc}-1&2&-1\\0&0&2\\0&0&1\end{array}\right]}^{3} }\)

Trochę uporządkujmy
\(\displaystyle{ \displaystyle{A ^{3}+3(A+A ^{-1}) +(A ^{-1}) ^{3} =\left[\begin{array}{cccc}-1&2&-1\\0&0&2\\0&0&1\end{array}\right]}^{3} }\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{A ^{3} +(A ^{-1}) ^{3} =\left[\begin{array}{cccc}-1&2&-1\\0&0&2\\0&0&1\end{array}\right]^{3} -3 \cdot \left[\begin{array}{cccc}-1&2&-1\\0&0&2\\0&0&1\end{array}\right]} }\)

Potrafisz dokończyć?

[Karol566]

W życiu bym na to nie wpadł, dalej już sobie dam radę.
Dziękuję bardzo!