Jak rozumieć zapis reprezentacji

[mmss]

Niech \(\displaystyle{ G}\) to grupa i \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń liniowa.
Reprezentacja grupy \(\displaystyle{ G}\) na \(\displaystyle{ V}\) to homomorfizm \(\displaystyle{ \pi : G \rightarrow GL(V)}\).

Czy dobrze rozumiem zapis \(\displaystyle{ GL(V)}\). Przez \(\displaystyle{ GL(V)}\) rozumiem zbiór automorfizmów z \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ V}\)?
Gdy za \(\displaystyle{ V}\) damy \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) to elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) mozemy rozumieć jako macierze wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\) które są odwracalne.

Ale czym są elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) gdy za \(\displaystyle{ V}\) przyjmiemy zbiór funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) (nie jestem pewien czy to jest przestrzeń liniowa więc jeśli nie jest to niech będzie całą prosta rzeczywista)?

Czy elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) to zawsze macierze?

Dziękuję za pomoc.

[Janusz Tracz]

Trudno jest wróżyć co mogą znaczyć oznaczenia. Ich definicja powinna być dana. Ale

Czy dobrze rozumiem zapis \(\displaystyle{ GL(V)}\). Przez \(\displaystyle{ GL(V)}\) rozumiem zbiór automorfizmów z \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ V}\)?

to by miało sens. Podobnie jak grupa Galois jest grupą automorfizmów (oznaczenie się kojarzy). Gdy mowa o automorfizmach to nie trzeba mówić, że są w \(\displaystyle{ V}\) (bo to automorfizmy).

Ale czym są elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) gdy za \(\displaystyle{ V}\) przyjmiemy zbiór funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) (nie jestem pewien czy to jest przestrzeń liniowa więc jeśli nie jest to niech będzie całą prosta rzeczywista)?

Tak na oko funkcje ciągłe na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) powinny być p. liniową. Tak czy inaczej elementami \(\displaystyle{ GL(V)}\) będą funkcje, które jakoś działają na funkcje z \(\displaystyle{ V}\). Czyli coś w rodzaju transformat. Powiedzmy, że \(\displaystyle{ f}\) to jakaś funkcja ciąga wtedy można zdefiniować odwzorowanie \(\displaystyle{ \phi}\) jako \(\displaystyle{ \phi\left( f\right)= \int_{0}^{x}f \left( \xi\right) \dd \xi }\). Pytanie czy \(\displaystyle{ \phi\in GL(V)}\). Takie i wiele innych odwzorowani tego typy może siedzieć w \(\displaystyle{ GL(V)}\).

Czy elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) to zawsze macierze?

Wydaje mi się, że to zależny od definicji macierzy. Ale powyższy przykład pokazuje raczej, że definicja macierzy musiała by być mocno uogólniona by takie dziwne przekształcenia pod nią podpadały.

[mmss]

Ok rozumiem, a jeśli \(\displaystyle{ dim(V) < \infty }\) i np. \(\displaystyle{ dim(V) = n}\) to elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) to przekształcenia z \(\displaystyle{ V}\) na \(\displaystyle{ V}\) wzajemnie jednoznaczne czyli automorfizmy które możemy jednoznacznie utożsamiać z macierzami wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\)? Wtedy \(\displaystyle{ \pi }\) nazywamy reprezentacją skończenie wymiarową. Czyli mówiąc jeszcze prościej - reprezentacje skończenie wymiarowe wymiaru \(\displaystyle{ n}\) grupy to homomorfizmy grupy w zbiór macierzy odwracalnych wymiaru \(\displaystyle{ n}\).

Od razu zadam inne pytanie - czy istnieje coś takiego jak teoria reprezentacji gdy \(\displaystyle{ V}\) jest nieskończonego wymiaru?

I ostatnie pytanie : Niech \(\displaystyle{ V}\) to zbiór funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) nad ciałem liczb rzeczywistych. Jaki jest wymiar takiej przestrzeni liniowej? Jak wiemy z lematu Kuratowskiego - Zorna, każda przestrzeń liniowa ma bazę - co jest bazą tej przestrzeni ?

[Janusz Tracz]

Ok rozumiem, a jeśli \(\displaystyle{ \dim(V) < \infty }\) i np. \(\displaystyle{ \dim(V) = n}\) to elementy \(\displaystyle{ GL(V)}\) to przekształcenia z \(\displaystyle{ V}\) na \(\displaystyle{ V}\) wzajemnie jednoznaczne czyli automorfizmy które możemy jednoznacznie utożsamiać z macierzami wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\)? Wtedy \(\displaystyle{ \pi }\) nazywamy reprezentacją skończenie wymiarową. Czyli mówiąc jeszcze prościej - reprezentacje skończenie wymiarowe wymiaru \(\displaystyle{ n}\) grupy to homomorfizmy grupy w zbiór macierzy odwracalnych wymiaru \(\displaystyle{ n}\).

Też tak to widzę. Gdy \(\displaystyle{ \dim(V) = n}\) to \(\displaystyle{ V\cong\RR^n}\) zatem na \(\displaystyle{ V}\) i jej automorfizmy patrzymy przez pryzmat izomorfizmu \(\displaystyle{ V}\) z \(\displaystyle{ \RR^n}\). A liniowe przekształcenia \(\displaystyle{ \RR^n}\) w \(\displaystyle{ \RR^n}\) to macierze. Problem zaczyna się, gdy wymiar jest nieskończony. Jednak nie przejmowałbym się tym zbytnio. Po prostu wtedy elementami \(\displaystyle{ GL(V)}\) nie są takie standardowe macierze tylko jakieś przekształcenia liniowe w rodzaju transformat.

Od razu zadam inne pytanie - czy istnieje coś takiego jak teoria reprezentacji gdy \(\displaystyle{ V}\) jest nieskończonego wymiaru?

Nie wiem nie znam się na tym. Ale nie widzę przeciwwskazań, aby powyższa definicja już nie obejmowała przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru.

I ostatnie pytanie : Niech \(\displaystyle{ V}\) to zbiór funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) nad ciałem liczb rzeczywistych. Jaki jest wymiar takiej przestrzeni liniowej? Jak wiemy z lematu Kuratowskiego - Zorna, każda przestrzeń liniowa ma bazę - co jest bazą tej przestrzeni ?

Taka przestrzeń jest wymiaru \(\displaystyle{ \infty }\). A co dokładnie się kryje pod \(\displaystyle{ \infty }\), to chyba niebanalne pytanie. Bazą funkcji analitycznych \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\omega}(\Omega)}\) jest \(\displaystyle{ \left\{ x^n:n\in\NN\right\} }\) (takie funkcje rozwijają się w szereg Taylora), bazą \(\displaystyle{ \text{L}^2\left( \left[ 0,1\right] \right) }\) jest zbiór sinusów i cosinusów postaci \(\displaystyle{ \sin \left(2 \pi nx \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \cos(2 \pi nx)}\). Widać, że są to bazy mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Odnośnie bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{C}\left( \RR\right) }\) warte przeczytania są te wypowiedzi:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/136637/what-is-a-basis-for-the-vector-space-of-continuous-functions

oraz

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2854561/are-there-vector-spaces-with-uncountable-basis?noredirect=1&lq=1

.

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ V}\) to zbiór funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) nad ciałem liczb rzeczywistych. Jaki jest wymiar takiej przestrzeni liniowej? Jak wiemy z lematu Kuratowskiego - Zorna, każda przestrzeń liniowa ma bazę - co jest bazą tej przestrzeni ?

Wątpię żeby bazę dało się opisać efektywnie, ale można dość łatwo udowodnić, że przestrzeń jest wymiaru continuum. Oszacowanie z góry jest natychmiastowe, bo wszystkich funkcji ciągłych jest continuum. Z drugiej strony \(\displaystyle{ \{ e^{ax} : a \in \RR \}}\) jest liniowo niezależnym podzbiorem mocy continuum, co daje oszacowanie z dołu. Aby wykazać to ostatnie, wystarczy \(\displaystyle{ n}\)-krotnie zróżniczkować odpowiednie równanie i skorzystać z wyznacznika Vandermonde'a.

Bazą funkcji analitycznych \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\omega}(\Omega)}\) jest \(\displaystyle{ \left\{ x^n:n\in\NN\right\} }\) (takie funkcje rozwijają się w szereg Taylora)

To nieprawda - taki zbiór generuje tylko wielomiany, a nie wszystkie funkcje analityczne.