Układ równań z parametrem

[Karol566]

Dany jest układ równań:
\begin{cases} x+y=-a(1+y) \\ 2x+y=ax-2 \\ 2x+ay=1-a \end{cases}
Trzeba wyznaczyć parametr, dla którego ma on niezerowe rozwiązanie.
Nie mogę skorzystać z twierdzeń Cramera, gdyż macierz tego układu nie jest kwadratowa, czy próba rozkminienia tego licząc rzędy macierzy uzupełnionej i zwykłej będzie poprawna?

[Janusz Tracz]

czy próba rozkminienia tego licząc rzędy macierzy uzupełnionej i zwykłej będzie poprawna?

Tak. Czyli Kroneckera-Capellego stosujesz. Oczywiście najpierw trzeba ten układ odpowiednio zapisać

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+(1+a)y=-a \\ (2-a)x+y=-2 \\ 2x+ay=1-a \end{cases}}\)

[Karol566]

Obliczyłem macierz uzupełnioną i sprowadziłem do postaci trójkątnej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}4-2a&2&|-4\\0&-4&|6-2a\\0&0&|0\end{array}\right]}\)
I teraz zakładając, że się nie pomyliłem dla \(\displaystyle{ a≠3,a≠2}\) mamy nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
Po podstawieniu tych brakujących wartości do macierzy otrzymałem dla \(\displaystyle{ a=3}\) tak samo jak wyżej, a dla \(\displaystyle{ a=2}\) brak rozwiązań.
Czyli rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ a \in R \setminus 2}\), a to że rozwiązania są niezerowe mamy zagwarantowane przez to, że rozwiązań jest nieskończenie wiele czy trzeba jakoś to jeszcze sprawdzić?

[Janusz Tracz]

mamy nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

Proszę podaj jakieś przykładowe rozwiązanie. Moim zdaniem (choć oczywiście mogłem się pomylić w obliczeniach) wyznacznik macierzy uzupełnionej jest równy \(\displaystyle{ -5}\) niezależnie od \(\displaystyle{ a}\). A to kończy zadanie. Układ jest sprzeczny.

[Karol566]

Rzeczywiście wyznacznik jest równy -5. Popełniam błąd przy sprowadzaniu do postaci trójkątnej w tym miejscu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2-a&1&|-2\\1&1+a&|-a\\2&a&|1-a\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_2=2w_2-w_3}\)
\(\displaystyle{ w_3=w_3-2w_2}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2-a&1&|-2\\0&2+a&|-1-a\\0&-2-a&|1+a\end{array}\right]}\)
Nie wiem dlaczego tak jest źle i jak to zrobić poprawnie?

Dodano po 39 minutach 12 sekundach:
Ok, chyba już rozumiem, muszę robić po jednej zamianie i będzie dobrze.
Dziękuję za pomoc