iloczyn skalarny na przestrzeni

[kt26420]

Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n }\) będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dla
p, q \(\displaystyle{ \in \RR[x]_n}\) niech
\(\displaystyle{ \left\langle{p,q} \right\rangle = p(1)q(1) + \sum_{k=1}^n p'(a_k)q'(a_k). }\)
1) Wykazać, że \(\displaystyle{ \left\langle { \cdot , \cdot }\right\rangle }\) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni
\(\displaystyle{ \RR[x]_n}\)(nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\)).

2) Znajdź bazę ortonormalną podprzestrzeni \(\displaystyle{ V = span(1,x) \subset \RR[x]_n.}\)

Bardzo proszę o pomoc

[kmarciniak1]

Zrobię przemienność iloczynu skalarnego i na podstawie tego spróbuj sprawdzić dalsze warunki. W drugiej równości korzsytam z przemiennośći zwykłego mnożenia.
\(\displaystyle{ \left\langle{p,q} \right\rangle = p(1)q(1) + \sum_{k=1}^n p'(a_k)q'(a_k)= q(1)p(1) + \sum_{k=1}^nq'(a_k) p'(a_k)= \left\langle{q,p} \right\rangle}\)