Macierz endomorfizmu
Macierz endomorfizmu
Jak wyznacza się macierz endomorfizmu mając dane dwa warunki?
\(\displaystyle{ \phi([6,4])=[6,4]}\)
\(\displaystyle{ \phi([-2,3])=[2,-3]}\)
Baza jednostkowa (czym się zadanie różni gdyby baza była inna?)
Jeden sposób czyli znalezienie takiego \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ A \cdot v_1 = w_1 }\) oraz \(\displaystyle{ A \cdot v_2 = w_2}\) gdzie \(\displaystyle{ \phi(v_i)=w_i}\), nie działa, bo macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{5}{13}&\frac{12}{13}\\
\frac{12}{13}& -\frac{5}{13}\\
\end{array}\right]}\)
Ale \(\displaystyle{ \det A \neq -1}\) -> Podobno tak musi być.
Jest jeszcze podobno jakiś inny sposób z macierzą przejścia, ale profesor tak chaotycznie wyjaśnił, że nic nie zrozumiałam. Ktoś wie, o jaki sposób chodzi?
\(\displaystyle{ \phi([6,4])=[6,4]}\)
\(\displaystyle{ \phi([-2,3])=[2,-3]}\)
Baza jednostkowa (czym się zadanie różni gdyby baza była inna?)
Jeden sposób czyli znalezienie takiego \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ A \cdot v_1 = w_1 }\) oraz \(\displaystyle{ A \cdot v_2 = w_2}\) gdzie \(\displaystyle{ \phi(v_i)=w_i}\), nie działa, bo macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{5}{13}&\frac{12}{13}\\
\frac{12}{13}& -\frac{5}{13}\\
\end{array}\right]}\)
Ale \(\displaystyle{ \det A \neq -1}\) -> Podobno tak musi być.
Jest jeszcze podobno jakiś inny sposób z macierzą przejścia, ale profesor tak chaotycznie wyjaśnił, że nic nie zrozumiałam. Ktoś wie, o jaki sposób chodzi?
Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 15:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: Macierz endomorfizmu
Właśnie przed chwilką to tak rozpisałam, ale to mi nic nie daje jak nie mam schematu ani dobrej teorii ;/
Dodano po 14 minutach 42 sekundach:
I niestety wskazówka nie odpowiada na żadne moje pytanko
Dodano po 13 minutach 7 sekundach:
Mam jeszcze drugie zadnie i ponownie wychodzi mi dziwny wynik metodą z zajęć.
\(\displaystyle{ \phi([5,1])=[7,-3]}\)
\(\displaystyle{ \phi([1,3])=[2,1]}\)
Baza standardowa.
Macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{19}{14}&\frac{3}{14}\\
- \frac{10}{14}& -\frac{8}{14}\\
\end{array}\right]}\)
Więc znowu ułamki, a \(\displaystyle{ detA \neq -1}\). Czy gdzieś w tej metodzie jest jakiś błąd?
Dodano po 14 minutach 42 sekundach:
I niestety wskazówka nie odpowiada na żadne moje pytanko
Dodano po 13 minutach 7 sekundach:
Mam jeszcze drugie zadnie i ponownie wychodzi mi dziwny wynik metodą z zajęć.
\(\displaystyle{ \phi([5,1])=[7,-3]}\)
\(\displaystyle{ \phi([1,3])=[2,1]}\)
Baza standardowa.
Macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{19}{14}&\frac{3}{14}\\
- \frac{10}{14}& -\frac{8}{14}\\
\end{array}\right]}\)
Więc znowu ułamki, a \(\displaystyle{ detA \neq -1}\). Czy gdzieś w tej metodzie jest jakiś błąd?
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Macierz endomorfizmu
To sugeruje powrót do notatek lub do zalecanej literatury, gdzie znajdziesz przykłady.
Masz obliczyć \(\displaystyle{ \phi([1,0])}\) i \(\displaystyle{ \phi([0,1])}\)
Masz obliczyć \(\displaystyle{ \phi([1,0])}\) i \(\displaystyle{ \phi([0,1])}\)
Re: Macierz endomorfizmu
\(\displaystyle{ \varphi([6,4])=\varphi(6[1,0]+4[0,1])=6 \cdot \varphi([1,0]) + 4 \cdot \varphi([0,1])}\)
\(\displaystyle{ 6 \cdot \varphi([1,0]) + 4 \cdot \varphi([0,1]) = [6,4] = 6 \cdot [1,0] + 4 \cdot [0,1] }\)
\(\displaystyle{ \varphi([1,0]) = [1,0]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([0,1])= [0,1]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([-2,3])=-2 \cdot \varphi([1,0]) + 3 \cdot \varphi([0,1])}\)
\(\displaystyle{ -2 \cdot \varphi([1,0]) + 3 \cdot \varphi([0,1]) = [2,-3] = 2 \cdot [1,0] + (-3) \cdot [0,1] = -2 \cdot [-1,0] + 3 \cdot [0,-1] }\)
\(\displaystyle{ \varphi([1,0]) = [-1,0]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([0,1])= [0,-1]}\)
O to chodzi? Bo ja tu nie widzę sensu...
\(\displaystyle{ 6 \cdot \varphi([1,0]) + 4 \cdot \varphi([0,1]) = [6,4] = 6 \cdot [1,0] + 4 \cdot [0,1] }\)
\(\displaystyle{ \varphi([1,0]) = [1,0]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([0,1])= [0,1]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([-2,3])=-2 \cdot \varphi([1,0]) + 3 \cdot \varphi([0,1])}\)
\(\displaystyle{ -2 \cdot \varphi([1,0]) + 3 \cdot \varphi([0,1]) = [2,-3] = 2 \cdot [1,0] + (-3) \cdot [0,1] = -2 \cdot [-1,0] + 3 \cdot [0,-1] }\)
\(\displaystyle{ \varphi([1,0]) = [-1,0]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([0,1])= [0,-1]}\)
O to chodzi? Bo ja tu nie widzę sensu...
Re: Macierz endomorfizmu
Układy równań miałam przy liczeniu macierzy A i nadal nie wiem czemu to nie działa skoro według teorii powinno
Dodano po 5 minutach 5 sekundach:
\(\displaystyle{ [6,4]=6 \cdot A[1,0] + 4 \cdot A[0,1]}\)
\(\displaystyle{ [2,-3]=-2 \cdot A[1,0] + 3 \cdot A[0,1]}\)
Dodano po 5 minutach 5 sekundach:
\(\displaystyle{ [6,4]=6 \cdot A[1,0] + 4 \cdot A[0,1]}\)
\(\displaystyle{ [2,-3]=-2 \cdot A[1,0] + 3 \cdot A[0,1]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Macierz endomorfizmu
Oznaczmy \(\displaystyle{ e_1=[1,0], e_2=0,1])}\). Szukamy \(\displaystyle{ \phi(e_1)}\) i \(\displaystyle{ \phi(e_2)}\)
Masz
\(\displaystyle{ 6e_1+4e_2=\phi([6,4])=6\phi(e_1)+4\phi(e_2)\\
2e_1-3e_2=[2,-3]=\phi([-2,3])=-2\phi(e_1)+3\phi(e_2)}\)
Z tego wylicz `\phi(e_1)` i `\phi(e_2)` i ułóż macierz przekształcenia
Masz
\(\displaystyle{ 6e_1+4e_2=\phi([6,4])=6\phi(e_1)+4\phi(e_2)\\
2e_1-3e_2=[2,-3]=\phi([-2,3])=-2\phi(e_1)+3\phi(e_2)}\)
Z tego wylicz `\phi(e_1)` i `\phi(e_2)` i ułóż macierz przekształcenia
Re: Macierz endomorfizmu
Wychodzi dokładnie to samo co w mojej macierzy A. Czyli to jednak jest dobrze mimo, że wyznacznik macierzy nie wychodzi -1?
-
- Użytkownik
- Posty: 22174
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Macierz endomorfizmu
A czemu miałby wyjść `-1`? Wyznacznik macierzy przejścia z bazy do bazy pokazuje dwie rzeczy:
po pierwsze stosunek pola równoległoboku rozpiętego na wektorach drugiej bazy do pola równoległoboku rozpiętego na wektorach pierwszej bazy (o tym mówi wartość bezwzględna wyznacznika)
po drugie: znak wyznacznika opisuje jak wektory obu baz leżą względem siebie
po pierwsze stosunek pola równoległoboku rozpiętego na wektorach drugiej bazy do pola równoległoboku rozpiętego na wektorach pierwszej bazy (o tym mówi wartość bezwzględna wyznacznika)
po drugie: znak wyznacznika opisuje jak wektory obu baz leżą względem siebie
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Macierz endomorfizmu
Po pierwsze: endomorfizm \(\displaystyle{ \phi}\) spełniający taki układ równań musi mieć wyznacznik równy \(\displaystyle{ -1}\), bo musi mieć wartości własne równe \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) - a wyznacznik, jak wiadomo, to iloczyn wartości własnych.
Po drugie: macierz którą wyznaczyłeś ma wyznacznik równy \(\displaystyle{ -1}\) i jest macierzą szukanego endomorfizmu.