Macierz endomorfizmu

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Corinek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 29 sty 2015, o 16:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

Macierz endomorfizmu

Post autor: Corinek »

Jak wyznacza się macierz endomorfizmu mając dane dwa warunki?
\(\displaystyle{ \phi([6,4])=[6,4]}\)
\(\displaystyle{ \phi([-2,3])=[2,-3]}\)

Baza jednostkowa (czym się zadanie różni gdyby baza była inna?)

Jeden sposób czyli znalezienie takiego \(\displaystyle{ A}\), że \(\displaystyle{ A \cdot v_1 = w_1 }\) oraz \(\displaystyle{ A \cdot v_2 = w_2}\) gdzie \(\displaystyle{ \phi(v_i)=w_i}\), nie działa, bo macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{5}{13}&\frac{12}{13}\\
\frac{12}{13}& -\frac{5}{13}\\
\end{array}\right]}\)


Ale \(\displaystyle{ \det A \neq -1}\) -> Podobno tak musi być.

Jest jeszcze podobno jakiś inny sposób z macierzą przejścia, ale profesor tak chaotycznie wyjaśnił, że nic nie zrozumiałam. Ktoś wie, o jaki sposób chodzi?
Ostatnio zmieniony 17 sty 2021, o 15:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: a4karo »

Wsk: \(\displaystyle{ \varphi([6,4])=\varphi(6[1,0]+4[0,1])=..}\)
Corinek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 29 sty 2015, o 16:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: Corinek »

Właśnie przed chwilką to tak rozpisałam, ale to mi nic nie daje jak nie mam schematu ani dobrej teorii ;/

Dodano po 14 minutach 42 sekundach:
I niestety wskazówka nie odpowiada na żadne moje pytanko :(

Dodano po 13 minutach 7 sekundach:
Mam jeszcze drugie zadnie i ponownie wychodzi mi dziwny wynik metodą z zajęć.

\(\displaystyle{ \phi([5,1])=[7,-3]}\)
\(\displaystyle{ \phi([1,3])=[2,1]}\)
Baza standardowa.

Macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{19}{14}&\frac{3}{14}\\
- \frac{10}{14}& -\frac{8}{14}\\
\end{array}\right]}\)


Więc znowu ułamki, a \(\displaystyle{ detA \neq -1}\). Czy gdzieś w tej metodzie jest jakiś błąd?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: a4karo »

To sugeruje powrót do notatek lub do zalecanej literatury, gdzie znajdziesz przykłady.


Masz obliczyć \(\displaystyle{ \phi([1,0])}\) i \(\displaystyle{ \phi([0,1])}\)
Corinek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 29 sty 2015, o 16:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: Corinek »

\(\displaystyle{ \varphi([6,4])=\varphi(6[1,0]+4[0,1])=6 \cdot \varphi([1,0]) + 4 \cdot \varphi([0,1])}\)
\(\displaystyle{ 6 \cdot \varphi([1,0]) + 4 \cdot \varphi([0,1]) = [6,4] = 6 \cdot [1,0] + 4 \cdot [0,1] }\)

\(\displaystyle{ \varphi([1,0]) = [1,0]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([0,1])= [0,1]}\)

\(\displaystyle{ \varphi([-2,3])=-2 \cdot \varphi([1,0]) + 3 \cdot \varphi([0,1])}\)
\(\displaystyle{ -2 \cdot \varphi([1,0]) + 3 \cdot \varphi([0,1]) = [2,-3] = 2 \cdot [1,0] + (-3) \cdot [0,1] = -2 \cdot [-1,0] + 3 \cdot [0,-1] }\)

\(\displaystyle{ \varphi([1,0]) = [-1,0]}\)
\(\displaystyle{ \varphi([0,1])= [0,-1]}\)

O to chodzi? Bo ja tu nie widzę sensu...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: a4karo »

No bo to nie ma sensu. Ułóż układ równań.
Corinek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 29 sty 2015, o 16:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: Corinek »

Układy równań miałam przy liczeniu macierzy A i nadal nie wiem czemu to nie działa skoro według teorii powinno :(

Dodano po 5 minutach 5 sekundach:
\(\displaystyle{ [6,4]=6 \cdot A[1,0] + 4 \cdot A[0,1]}\)
\(\displaystyle{ [2,-3]=-2 \cdot A[1,0] + 3 \cdot A[0,1]}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: a4karo »

Oznaczmy \(\displaystyle{ e_1=[1,0], e_2=0,1])}\). Szukamy \(\displaystyle{ \phi(e_1)}\) i \(\displaystyle{ \phi(e_2)}\)
Masz
\(\displaystyle{ 6e_1+4e_2=\phi([6,4])=6\phi(e_1)+4\phi(e_2)\\
2e_1-3e_2=[2,-3]=\phi([-2,3])=-2\phi(e_1)+3\phi(e_2)}\)


Z tego wylicz `\phi(e_1)` i `\phi(e_2)` i ułóż macierz przekształcenia
Corinek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 29 sty 2015, o 16:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: Corinek »

Wychodzi dokładnie to samo co w mojej macierzy A. Czyli to jednak jest dobrze mimo, że wyznacznik macierzy nie wychodzi -1?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: a4karo »

A czemu miałby wyjść `-1`? Wyznacznik macierzy przejścia z bazy do bazy pokazuje dwie rzeczy:
po pierwsze stosunek pola równoległoboku rozpiętego na wektorach drugiej bazy do pola równoległoboku rozpiętego na wektorach pierwszej bazy (o tym mówi wartość bezwzględna wyznacznika)
po drugie: znak wyznacznika opisuje jak wektory obu baz leżą względem siebie
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Macierz endomorfizmu

Post autor: Dasio11 »

Corinek pisze: 17 sty 2021, o 15:09 Jak wyznacza się macierz endomorfizmu mając dane dwa warunki?
\(\displaystyle{ \phi([6,4])=[6,4]}\)
\(\displaystyle{ \phi([-2,3])=[2,-3]}\)
Corinek pisze: 17 sty 2021, o 15:09nie działa, bo macierz wyszła mi \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{5}{13}&\frac{12}{13}\\
\frac{12}{13}& -\frac{5}{13}\\
\end{array}\right]}\)


Ale \(\displaystyle{ \det A \neq -1}\) -> Podobno tak musi być.
Po pierwsze: endomorfizm \(\displaystyle{ \phi}\) spełniający taki układ równań musi mieć wyznacznik równy \(\displaystyle{ -1}\), bo musi mieć wartości własne równe \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) - a wyznacznik, jak wiadomo, to iloczyn wartości własnych.

Po drugie: macierz którą wyznaczyłeś ma wyznacznik równy \(\displaystyle{ -1}\) i jest macierzą szukanego endomorfizmu.
ODPOWIEDZ