Rachunek macierzowy

[41421356]

Dane jest równanie macierzowe:

\(\displaystyle{ \left(-2BX\right)^{-1}=\left(B-B^{-1}A\right)^T}\),

gdzie \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) są macierzami kwadratowymi trzeciego stopnia. Ponadto zakładamy, że macierz \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa i symetryczna (tzn. \(\displaystyle{ B^T=B}\)) oraz macierz \(\displaystyle{ \left(B-B^{-1}A\right)}\) jest nieosobliwa.

a.) Sprawdzić czy nieosobliwa macierz \(\displaystyle{ X=-\frac{1}{2}\left(B^2-A^T\right)^{-1}}\) spełnia powyższe równanie.

b.) Obliczyć wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ X}\), gdy
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}10&-2&0\\-1&2&-3\\2&-4&6\end{array}\right], \ B=\left[\begin{array}{ccc}-3&1&-1\\1&0&-2\\-1&-2&2\end{array}\right]}\).

Jak zacząć w tym podpunkcie pierwszym?

[kerajs]

\(\displaystyle{ L=\left(-2BX\right)^{-1}=\left(-2B\frac{-1}{2}\left(B^2-A^T\right)^{-1}\right)^{-1} =\left(B\left(B^2-A^T\right)^{-1}\right)^{-1} =\left(B^2-A^T\right)B^{-1}=....
}\)

[41421356]

A w tym ostatnim przejściu to kolejność mnożenia ulega zmianie?

[kerajs]

Owszem.
\(\displaystyle{ (XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}}\)

Ponadto, przyda się także:
\(\displaystyle{ (X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T}}\)
\(\displaystyle{ (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}}\)

[41421356]

Nie widzę niestety dalszej drogi. Co z kwadratem tej macierzy \(\displaystyle{ B}\)?

[Jan Kraszewski]

Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania/odejmowania.

JK

[a4karo]

I jeszcze się przyda fakt, że \(\displaystyle{ \det A\cdot \det B=\det AB}\)

[kerajs]

Kwestia kwadratu:
\(\displaystyle{ ...=\left(B^2-A^T\right)B^{-1}=B^2B^{-1}-A^TB^{-1}=BBB^{-1}-A^TB^{-1}=BE-A^TB^{-1}=B-A^TB^{-1}=....}\)

Skoro B jest symetryczna to: \(\displaystyle{ B=B^T}\)

Skoro B jest symetryczna i nieosobliwa to: \(\displaystyle{ B^{-1}=\left( B^{-1}\right)^T }\)

[41421356]

Dziękuję Wszystkim za pomoc, już wszystko jasne.

Dodano po 10 godzinach 14 minutach 31 sekundach:
A tak zapytam jeszcze o ten drugi podpunkt. Czy tutaj można w jakiś sposób wykorzystać poprzedni podpunkt, czy liczyć to po prostu na piechotę?